平行四边形

定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形。记作 $\square ABCD$，读作「平行四边形 $ABCD$」。

性质分三方面：

• 边：对边平行且相等（$AB\parallel CD$，$AB=CD$；$AD\parallel BC$，$AD=BC$）。
• 角：对角相等（$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$），邻角互补（$\angle A+\angle B=180°$）。
• 对角线：对角线互相平分（交点为两条对角线的中点）。

这些性质是怎么来的：连接一条对角线，把平行四边形分成两个三角形；由平行得内错角相等，再用 ASA 证两三角形全等，于是对应边相等、对应角相等。也就是说，平行四边形的全部性质都由全等三角形推出，不必逐条死记。

两条补充性质

对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点——绕该点旋转 $180°$ 后图形与自身重合。但它一般不是轴对称图形（矩形、菱形、正方形才是）。

面积：$S=ah$，即底乘高，其中 $a$ 是一边的长，$h$ 是该边上的高。面积公式常被用来做「等积变形」：在两条平行线之间移动底边，平行四边形的面积不变。

判定五条怎么选

已知条件	选用的判定
两组对边分别平行	定义
两组对边分别相等	判定一
一组对边平行且相等	判定二（最常用）
对角线互相平分	判定三
两组对角分别相等	判定四

做题时先看给的是边的条件还是对角线的条件：给了对角线关系，就用「互相平分」；只给了一组对边，就必须同时有「平行」和「相等」两个词，缺一不可。

两条常见的误判要避开：「一组对边平行、另一组对边相等」不能判定平行四边形（那可能是等腰梯形）；「对角线相等」也不能判定（那是矩形的性质）。

对比

性质与判定的对比：

项目	性质（已知平行四边形 $\to$ 结论）	判定（条件 $\to$ 平行四边形）
边	对边平行且相等	两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等
角	对角相等、邻角互补	两组对角分别相等（用全等三角形证）
对角线	对角线互相平分	对角线互相平分的四边形

判定合计：定义加「两组对边相等」「一组对边平行且相等」「对角线互相平分」「两组对角分别相等」共五条常用方法。

几种特殊平行四边形的关系

平行四边形是「母类」，加上不同条件就得到特殊成员：

图形	在平行四边形基础上增加的条件	额外性质
矩形	有一个角是直角	四个角都是直角，对角线相等
菱形	有一组邻边相等	四条边都相等，对角线互相垂直
正方形	既是矩形又是菱形	兼具两者的全部性质

判定时也按这个顺序走：先证它是平行四边形，再证它是矩形或菱形，最后判断是否兼具两者。

典例精析

例 1 在 $\square ABCD$ 中，$\angle A:\angle B=2:3$，求各角度数。

解：邻角互补，$\angle A+\angle B=180°$。设 $\angle A=2k$、$\angle B=3k$，则 $5k=180°$，$k=36°$。

由对角相等：$\angle A=\angle C=2\times 36°=72°$，$\angle B=\angle D=3\times 36°=108°$。

例 2 在四边形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$ 且 $AB=CD$，求证它是平行四边形。

证：连接 $AC$。由 $AB\parallel CD$ 得 $\angle BAC=\angle DCA$（内错角相等）；又 $AB=CD$，$AC$ 为公共边，故 $△ABC\cong △CDA$（SAS）。于是 $AD=BC$，两组对边分别相等，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。$■$

也可以直接用「一组对边平行且相等」判定，一步得出结论。

常见错：把 $\angle A+\angle C=180°$ 当成平行四边形的结论——对角相等才是，即 $\angle A=\angle C$；和为 $180°$ 的是邻角。

与其他知识的联系

平行四边形是四边形这一章的枢纽：矩形、菱形、正方形都是它的特例，它们的性质都可以看成「平行四边形的性质加附加条件」。

它的判定思路（用全等三角形把边角关系转化为图形类别）在此后反复出现：三角形中位线定理的证明要靠构造平行四边形；梯形问题常常通过平移一腰，化成平行四边形与三角形来处理。