北师大版五年级上册第五单元《多边形的面积》教材同步学习指南

定义

本章用「转化」把不熟悉的图形变成学过的长方形。主线是：平行四边形 → 三角形 → 梯形 → 组合图形。

面积：物体表面或封闭图形的大小。面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，相邻面积单位之间的进率是 $100$。

平行四边形的面积：$S=ah$，其中 $a$ 是底，$h$ 是这条底上的高。

三角形的面积：$S=ah÷2$，其中 $a$ 是底，$h$ 是这条底上的高。

梯形的面积：$S=(a+b)h÷2$，其中 $a$ 是上底，$b$ 是下底，$h$ 是高。

组合图形：由两个或两个以上简单图形组合而成的图形，可以用分割法或添补法求面积。

三个面积公式不是背出来的，而是剪一剪、拼一拼推出来的。推导时都用了同一个办法：把新图形转化成已经会算面积的长方形或平行四边形。

计算面积时，底和高的单位必须一致，结果的单位要写成平方单位，不能写成厘米、米这样的长度单位。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
平行四边形的面积	剪拼成长方形，推导 $S=ah$	会找底和对应的高
三角形的面积	两个完全一样的三角形拼成平行四边形	会用 $S=ah÷2$
梯形的面积	两个完全一样的梯形拼成平行四边形	会用 $S=(a+b)h÷2$
组合图形的面积	分割或添补成基本图形	会合理拆分、不重不漏
面积的实际应用	单位换算、求底或高	能解决铺地、种菜等问题

顺序不能颠倒：先有平行四边形面积的推导方法，三角形、梯形才能照同样的思路拼摆；三个基本公式熟了，组合图形才有拆分的底气。

平行四边形的面积

沿平行四边形的一条高剪下一个三角形，把它平移到另一边，正好拼成一个长方形。长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高，所以平行四边形的面积是底乘高。

例 1：平行四边形底 $6$ 厘米、高 $4$ 厘米，面积是多少？

$S=ah=6\times 4=24$（平方厘米）。

例 2：平行四边形面积是 $36$ 平方厘米，底是 $9$ 厘米，高是多少？

由 $S=ah$ 得 $h=S÷a=36÷9=4$（厘米）。

例 3：平行四边形底 $6$ 厘米、斜边 $5$ 厘米、高 $4$ 厘米，面积是多少？

只能用底乘对应的高：$6\times 4=24$（平方厘米）。斜边 $5$ 厘米不是这条底上的高，不能用来算面积。

易错：底和高必须互相垂直；题目给出斜边时，不要把它当成高。

三角形的面积

两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形的高，三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

例 1：三角形底 $8$ 分米、高 $5$ 分米，面积是多少？

$S=ah÷2=8\times 5÷2=20$（平方分米）。

例 2：三角形面积是 $24$ 平方厘米，底是 $8$ 厘米，高是多少？

由 $S=ah÷2$ 得 $h=2S÷a=2\times 24÷8=6$（厘米）。已知面积求底或高，要先把面积乘 $2$。

例 3：直角三角形的两条直角边分别是 $6$ 厘米和 $8$ 厘米，面积是多少？

两条直角边互为底和高，$S=6\times 8÷2=24$（平方厘米）。

易错：三角形面积一定要除以 $2$；由面积反求底或高时，别忘了先乘 $2$。

梯形的面积

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于梯形的上底加下底，高等于梯形的高，所以梯形面积是 $(a+b)h÷2$。

例 1：梯形上底 $3$ 米、下底 $5$ 米、高 $4$ 米，面积是多少？

$S=(3+5)\times 4÷2=8\times 4÷2=16$（平方米）。

例 2：梯形上底 $4$ 米、下底 $6$ 米，面积是 $20$ 平方米，高是多少？

由 $S=(a+b)h÷2$ 得 $h=2S÷(a+b)=2\times 20÷(4+6)=40÷10=4$（米）。

例 3：梯形上底 $2$ 厘米、下底 $6$ 厘米、高 $3$ 厘米，面积是多少？

$S=(2+6)\times 3÷2=8\times 3÷2=12$（平方厘米）。

易错：上底、下底是两条平行的边，不要把腰当成高；计算时先算括号里的和，再乘高、除以 $2$。

组合图形的面积

组合图形没有现成公式，先观察它能拆成哪些基本图形，再分别计算。

例 1：一间房子的侧面是长方形加三角形，长方形长 $6$ 米、宽 $4$ 米，三角形底 $6$ 米、高 $3$ 米，求这个侧面的面积。

长方形面积 $6\times 4=24$（平方米），三角形面积 $6\times 3÷2=9$（平方米），合计 $24+9=33$（平方米）。

例 2：一块长 $10$ 米、宽 $8$ 米的长方形地里挖去一个长 $4$ 米、宽 $3$ 米的小长方形，剩下部分的面积是多少？

用添补法：$10\times 8-4\times 3=80-12=68$（平方米）。

易错：分割时各部分不能重叠，也不能漏掉；添补后要减去补上的部分。单位不同时先统一，$1$ 平方米等于 $100$ 平方分米。

本章的三条主线结论

1. 转化是推导公式的共同方法：平行四边形剪拼成长方形，三角形、梯形拼成平行四边形。
2. 底和高必须对应：面积公式中的高，一定是所选底上的高；三角形、梯形还要记得除以 $2$。
3. 组合图形先分后算：分割或添补成基本图形，做到不重不漏，最后统一单位。

最易错：三角形、梯形漏除以 $2$；把斜边当高；组合图形重复计算；面积单位与长度单位混用。

自测

先自己算，再看答案：

1. 平行四边形底 $7$ 厘米、高 $4$ 厘米，面积是多少？——$7\times 4=28$ 平方厘米。
2. 三角形底 $10$ 分米、高 $6$ 分米，面积是多少？——$10\times 6÷2=30$ 平方分米。
3. 梯形上底 $4$ 米、下底 $8$ 米、高 $5$ 米，面积是多少？——$(4+8)\times 5÷2=30$ 平方米。
4. 三角形面积 $36$ 平方厘米，底 $9$ 厘米，高是多少？——$36\times 2÷9=8$ 厘米。
5. 长方形长 $8$ 厘米、宽 $5$ 厘米，上面接一个底 $8$ 厘米、高 $3$ 厘米的三角形，组合图形面积是多少？——$8\times 5+8\times 3÷2=40+12=52$ 平方厘米。
6. $1.2$ 平方米等于多少平方分米？——$1.2\times 100=120$ 平方分米。

第 1 题出错说明面积公式没有记牢或计算不仔细；第 2、3 题出错说明漏除以 $2$；第 4 题出错说明由面积反求高时没有先乘 $2$；第 5 题出错说明组合图形拆分不清；第 6 题出错说明面积单位进率记成了 $10$。

课堂提示

• 本页难点：找对应的高；由面积反求底或高；组合图形的拆分。
• 一句提问：平行四边形的斜边能不能直接乘底来求面积？
• 课堂操作：发给每组一个平行四边形纸片和一把剪刀，沿高剪开平移，拼成长方形，量一量长和宽与原来的底和高有什么关系；再用两个完全一样的三角形拼一次平行四边形。
• 可复述的话：剪一剪、拼一拼，新图形变旧图形；底乘高，三角形梯形别忘除以二。

学完本章之后

• 六年级上册《圆》：圆面积也靠剪拼转化成长方形，转化思想继续使用。
• 五年级下册《长方体（一）》：从平面面积走向表面积和体积，单位从平方单位扩展到立方单位。
• 初中几何：面积法可以用来证明线段相等、勾股定理，组合图形的拆分思想也会延续。

一句口诀收尾：平行四边形底乘高，三角形梯形除以二；组合图形先拆分，单位统一不丢分。