梯形的面积公式与推导

定义

梯形的面积：梯形所占平面的大小，等于上底加下底的和乘高除以 2：

$$S=(a+b)h÷2$$

其中 $a$ 是上底，$b$ 是下底，$h$ 是高。

推导

方法一：拼平行四边形

取两个完全一样的梯形，把其中一个旋转 $180^{\circ }$，与另一个拼成平行四边形：

• 平行四边形的底 = 梯形上底与下底之和 $(a+b)$
• 平行四边形的高 = 梯形的高 $h$
• 平行四边形面积 = $(a+b)h$

一个梯形是这个平行四边形的一半：

$$S=(a+b)h÷2$$

方法二：分割成两个三角形

沿一条对角线把梯形分成两个三角形：

• 一个三角形：底 $a$、高 $h$，面积 $\frac{1}{2}ah$
• 另一个三角形：底 $b$、高 $h$，面积 $\frac{1}{2}bh$

合起来：

$$S=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}(a+b)h$$

两种方法殊途同归。

典例精析

例 1 梯形上底 $4$ cm、下底 $6$ cm、高 $5$ cm，求面积。

$S=(a+b)h÷2=(4+6)\times 5÷2=25$（平方厘米）。

例 2 一块梯形玻璃，上底 $1.2$ m、下底 $1.8$ m、高 $1$ m，求面积。

$S=(1.2+1.8)\times 1÷2=1.5$（平方米）。

例 3 已知梯形面积是 $45$ 平方厘米，上底 $6$ cm、下底 $9$ cm，求高。

由 $S=(a+b)h÷2$ 得：

$$h=2S÷(a+b)=2\times 45÷(6+9)=90÷15=6\text{（厘米）}$$

例 4 判断：梯形上底 $4$、下底 $6$、高 $5$，面积是 $50$。

错。$(4+6)\times 5=50$ 是拼成的平行四边形面积，梯形要再除以 2，应为 $25$。

对比

项目	三角形	梯形
面积公式	$S=ah÷2$	$S=(a+b)h÷2$
拼成的平行四边形	底 $a$、高 $h$	底 $(a+b)$、高 $h$
除以 2 的原因	两个拼成平行四边形	两个拼成平行四边形
例	$10\times 6÷2=30$	$(4+6)\times 5÷2=25$

一句口诀收尾：梯形面积不算难，上底下底先相加；乘高之后再除 2，两个梯形拼平行。