四边形及其内角和

推导

内角和：连接对角线 $AC$，四边形 $ABCD$ 被分成 $△ABC$ 与 $△ACD$。每个三角形内角和为 $180°$，故

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=180°+180°=360°$

这与多边形内角和定理 $(n-2)\times 180°$ 在 $n=4$ 时的结果一致。$■$

外角和：四边形每个顶点处内角与外角互补，四个平角共 $4\times 180°$，减去内角和 $360°$：

$\text{外角和}=4\times 180°-360°=360°$

即沿四边形走一圈，方向总共转过 $360°$。$■$

典例精析

四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=100°$，$\angle B:\angle C:\angle D=3:4:6$，求 $\angle B$。

其余三角之和为 $360°-100°=260°$，按比例共 $3+4+6=13$ 份，每份 $260°÷13=20°$，故 $\angle B=3\times 20°=60°$。

再如检验：四边形剪去一个角后，剩下图形的内角和是多少？剪痕过两个顶点（沿对角线剪）剩三角形（$180°$）；剪痕过一个顶点剩四边形（$360°$）；剪痕不过顶点剩五边形（$540°$）——内角和只看边数，答案不唯一，须分类讨论。

对比

四边形不具有稳定性：三边确定形状唯一，四边确定形状仍可变。这一「缺点」在生产生活中恰好有用（伸缩门、升降架），需要稳定时加一根对角杆即可。