一次函数与方程、不等式

推导

方程与交点：$x$ 轴上的点纵坐标为 $0$。直线 $y=kx+b$ 上纵坐标等于 $0$ 的点满足 $kx+b=0$，这个点唯一（$k\ne 0$ 时直线不平行于 $x$ 轴），其横坐标 $x=-\frac{b}{k}$ 正是方程的解。$■$

不等式与上下方：$k>0$ 时直线从左下向右上倾斜，与 $x$ 轴交于 $(x_0,0)$：交点右侧图象在 $x$ 轴上方，故 $kx+b>0$ 的解集为 $x>x_0$；左侧图象在下方，$kx+b<0$ 的解集为 $x<x_0$。$k<0$ 时方向相反。解集只含自变量 $x$，不写 $y$。$■$

方程组与交点：方程组的解 $(x,y)$ 同时在两条直线上，即两直线的公共点。

• $k_1\ne k_2$：两直线相交于一点，方程组有唯一解（交点坐标）；
• $k_1=k_2$、$b_1\ne b_2$：两直线平行没有公共点，方程组无解；
• $k_1=k_2$、$b_1=b_2$：两直线完全重合，公共点有无穷多个，方程组有无穷多解。$■$

推广：解 $kx+b>m$ 等价于在同一坐标系中比较直线 $y=kx+b$ 与水平线 $y=m$：交点定边界，上方对应大于、下方对应小于。

典例精析

用图象法解方程组 $\{\begin{array}{l}y=2x-2\\ y=-x+4\end{array}$，并直接写出 $2x-2>0$ 的解集。

两直线交点满足 $2x-2=-x+4$，$x=2$，代入得 $y=2$，交点 $(2,2)$，方程组的解为 $x=2、y=2$。

直线 $y=2x-2$ 与 $x$ 轴交于 $(1,0)$，且斜率为正，故 $2x-2>0$ 的解集为 $x>1$。

对比