一元一次不等式

定义

一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数为 $1$ 的不等式。其标准形式为

$ax+b>0(a\ne 0)$

不等号可为 $>$、$<$、$\ge$、$\le$、$\ne$ 中任一种。$a\ne 0$ 是为了避免退化为 $b>0$ 这种常数不等式。

本页解集用高中集合记法书写，如 $\{x\mid x<2\}$；初中作业里直接写成不等式 $x<2$、并在数轴上画出即可。

推导

不等式的基本性质（这是不等式变形的依据）：

1. 对称性：$a>b\iff b<a$；
2. 传递性：$a>b,b>c\Rightarrow a>c$；
3. 加（减）性：$a>b\Rightarrow a\pm c>b\pm c$（两边同加/减同一数或整式，方向不变）；
4. 乘（除）正性：$a>b,c>0\Rightarrow ac>bc$（两边同乘/除正数，方向不变）；
5. 乘（除）负性：$a>b,c<0\Rightarrow ac<bc$（两边同乘/除负数，方向反转）。

解一元一次不等式的五个步骤与一元一次方程几乎一致，唯一区别是系数化为 1 时若两边同除以负数须把不等号方向反转：

1. 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数；
2. 去括号：按去括号法则展开；
3. 移项：未知数移到一边、常数移到另一边（变号）；
4. 合并同类项：化简成 $ax>b$ 形式；
5. 系数化为 1：两边同除以 $a$；若 $a<0$ 则改变不等号方向。

典例精析

例 1：解不等式 $3(x-2)\le 5x+2$，并在数轴上表示解集。

去括号：$3x-6\le 5x+2$。

移项：$3x-5x\le 2+6$，即 $-2x\le 8$。

系数化为 1：两边同除以 $-2$（负数）须变号，得 $x\ge -4$。

解集为 $\{x\mid x\ge -4\}$，数轴上从 $-4$（含，实心圆点）向右的射线。

例 2：解不等式 $\frac{2x-1}{3}<\frac{x+1}{2}$，并求其正整数解。

去分母（两边同乘 $6$）：$2(2x-1)<3(x+1)$。

去括号：$4x-2<3x+3$。

移项：$4x-3x<3+2$，即 $x<5$。

正整数解为 $x=1,2,3,4$。

对比

项目	一元一次方程	一元一次不等式
未知数个数与次数	一元一次	一元一次
变形依据	等式基本性质	不等式基本性质
两边同乘负数	方向无影响	方向反转
解的形态	唯一一个解	一个区间（可能无限）
数轴表示	一个点	射线或线段
验根	一般不必	不必（变形可逆）