有理数的加法与减法

定义

有理数的加法法则：

1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 $0$；
3. 一个数同 $0$ 相加，仍得这个数。

有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即

$a-b=a+(-b)$

减法由此统一为加法，加减混合运算可以写成省略加号的和的形式，称为代数和。

加法法则的理解

法则的本质是「先定符号，再算绝对值」。同号相加时，相当于两次同方向的运动叠加，符号不变、绝对值相加，如 $(-3)+(-5)=-(3+5)=-8$。异号相加时，两次运动方向相反、互相抵消一部分，结果的符号由「力量大」的一方即绝对值较大的加数决定，如 $(-7)+4=-(7-4)=-3$，而 $(-3)+7=+(7-3)=4$。

可以借助数轴理解：加正数就是向右移动，加负数就是向左移动，起点与终点之间的位置关系正好解释法则。互为相反数的两个数相加得 $0$，在数轴上就是从原点出发左右移动相同距离回到原点。

加法运算律

小学学过的加法运算律在有理数范围内仍然成立：

• 加法交换律：$a+b=b+a$；
• 加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$。

利用运算律可以简化计算，常用技巧有：互为相反数的先结合，同号的先结合，能凑整的先结合，同分母的分数先结合。例如

$\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{5}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{7}{5}=\left[\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)\right]+\left[\left(-\frac{2}{5}\right)+\frac{7}{5}\right]=0+1=1$

减法统一为加法

$a-b=a+(-b)$ 的关键是两处变化同时发生：减号变加号，减数变成它的相反数。只改一处是典型错误。如

$3-(-2)=3+2=5,(-5)-7=(-5)+(-7)=-12$

减法法则使加减混合运算可以统一为加法。算式 $(-20)+(+3)-(-5)-(+7)$ 先统一为 $(-20)+(+3)+(+5)+(-7)$，再省略加号和括号写成代数和 $-20+3+5-7$，读作「负 $20$ 加 $3$ 加 $5$ 减 $7$」。在代数和中，每个数连同它前面的符号看作一个整体，移动位置时必须带着符号一起移动。

典例精析

计算 $(-16)+(+25)+(-14)+(+15)$：把同号的分别结合，$[(-16)+(-14)]+[(+25)+(+15)]=(-30)+40=10$。

计算 $0-(-6)$：减去 $-6$ 等于加 $6$，结果为 $6$。

实际问题：气温从 $-3$°C 上升 $8$°C 又下降 $5$°C，列式 $-3+8-5=0$，即气温回到 $0$°C。

与其他知识的联系

减法统一为加法后，小学里「不够减就不能减」的限制消失了，这正是引入负数的意义之一，也是数系扩充价值的直接体现。加减运算是后续乘法符号法则、去括号法则与合并同类项的基础；到一元一次方程中，移项的本质就是等式两边同时加上同一个数（或式），依靠的仍是本节的法则。

对比

两数相加	同号	异号
和的符号	取相同的符号	取绝对值较大的加数的符号
绝对值	绝对值相加	用较大绝对值减去较小绝对值

运算统一	法则
减法	减去一个数，等于加上这个数的相反数
加法运算律	交换律、结合律在有理数范围内仍成立

互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加仍得这个数。