确定圆的条件

定义

定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆圆心叫外心，即三角形三边垂直平分线的交点。

过几个点能作多少圆——按点的个数逐层看：

已知点	能作多少个圆	圆心的位置
一个点	无数个	任意位置
两个点	无数个	两点连线的垂直平分线上
三个点（不共线）	恰好一个	三边垂直平分线的交点
三个点（共线）	一个也没有	中垂线互相平行，无交点

可见「确定」意味着存在且唯一：三点不共线时恰好满足；少给一个点（一或两个）有无数个圆，多给且共线则无解。

推导

存在性与唯一性：设不共线三点 $A$、$B$、$C$。

分别作线段 $AB$、$BC$ 的垂直平分线 $l_1$、$l_2$，设交于 $O$。

为什么 $l_1$、$l_2$ 一定相交？若它们平行，则 $AB\parallel BC$，但两线都过 $B$，于是 $A$、$B$、$C$ 共线，与「不共线」矛盾。故两垂直平分线必相交。

由垂直平分线性质定理：

• $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上 $\Rightarrow OA=OB$；
• $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上 $\Rightarrow OB=OC$。

故 $OA=OB=OC=R$，以 $O$ 为圆心、$R$ 为半径的圆经过 $A$、$B$、$C$ 三点，存在。

圆心必须同时到 $A$、$B$ 等距（在 $l_1$ 上）和到 $B$、$C$ 等距（在 $l_2$ 上），而两条直线只有一个交点，故圆心唯一、半径唯一，圆唯一。$■$

再由 $OA=OC$，点 $O$ 也在 $AC$ 的垂直平分线上——所以三角形的三条垂直平分线共点。

反例（共线情形）：若 $A$、$B$、$C$ 共线，则 $AB$ 与 $BC$ 的垂直平分线都垂直于同一直线，互相平行（或重合），无唯一交点，不存在同时过三点的圆。$■$

典例精析

破损圆盘边缘取三点 $A$、$B$、$C$，量得 $AB=AC=10$、$BC=12$，复原圆盘半径。

$O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上，也在 $AB$ 的垂直平分线上。取 $BC$ 中点 $M$，$BM=6$，$AM=\sqrt{10^2-6^2}=8$。

设半径 $R$，$O$ 在直线 $AM$ 上，$OM=|8-R|$（外心可能在三角形外，用绝对值）。在 Rt$△OMB$ 中：

$R^2=6^2+(8-R{)}^2=36+64-16R+R^2⟹16R=100⟹R=\frac{25}{4}$

例 2（直角三角形外接圆）：直角三角形两直角边为 $6$、$8$，求外接圆半径。

斜边为 $\sqrt{6^2+8^2}=10$，外心在斜边中点，故

$R=\frac{1}{2}\times 10=5$

这比作垂直平分线再求交点的通用做法快得多——记住「直角三角形外接圆半径等于斜边一半」这一特例，是这类题的速解。

对比

三角形类型	外心位置	外接圆半径特征
锐角三角形	三角形内部	—
直角三角形	斜边中点	$R=$ 斜边的一半
钝角三角形	三角形外部	—

与其他知识的联系

「三点定圆」是圆的定义与垂直平分线性质的合流：要找一个点到三个点等距，等价于找三条垂直平分线的交点。它也回答了「给定几个点，圆是否被唯一确定」这个基本问题。

往下游，它直接推出三角形一定有外接圆，从而把「外接圆」这一概念坐实；而「外心在锐角内、直角在斜边中点、钝角在外」的位置规律，则来自圆周角（直角对直径）的结论。往后，三点共圆会以「三点确定一个圆方程」的形式出现在解析几何里，本质上还是这一条定理。