导数四则运算法则与链式法则

Q: 复合函数怎么分解？

由外向内剥层：$y=\ln(2x+1)$ 看成 $y=\ln u$、$u=2x+1$；求导时 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，即外层导 × 内层导。

Q: sin 2x 的导数是 2cos 2x 吗？

是。链式法则直接得 $2\cos 2x$；先用二倍角化成 $2\sin x\cos x$ 再用乘法法则，结果一致，可互相验证。

Q: 商法则记不住怎么办？

口诀「上导下不导，减上不导下导，除以下方平方」：$(u^\prime v-uv^\prime)/v^2$。也可写 $u\cdot v^{-1}$ 用乘法法则推。

导数四则运算法则与链式法则

求导四则 $(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$ 、 $(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v-uv^\prime}{v^2}$ 与复合函数链式法则的速查与推导。

前置知识

学这一页之前，建议先掌握以下内容；点开可查看对应的知识页。

必备前置学本页前须先掌握

导数的运算

适用前提与边界条件

参与运算的函数 u、v 在所求点处均可导
商法则要求分母 $v\ne 0$ ；复合函数需能正确分解成内外两层

定义

四则运算法则（u、v 可导）：

$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'} (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} (v \neq = 0)$

链式法则（复合函数 $y = f (g (x))$ ，f、g 均可导）：

$[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) 即 \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

推导

乘法法则：由导数定义，给 $uv$ 一点增量并「加减同一项」 $u (x + Δ x) v (x)$ ：

$\frac{u ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) - u ( x ) v ( x )}{Δ x} = \frac{u ( x + Δ x ) - u ( x )}{Δ x} v (x) + u (x + Δ x) \cdot \frac{v ( x + Δ x ) - v ( x )}{Δ x}$

令 $Δ x \to 0$ ，两项分别趋于 $u^{'} v$ 与 $u v^{'}$ 。 $■$

链式法则：设 $y = f (u)$ 、 $u = g (x)$ ，当 $Δ u \neq = 0$ 时变化率传递：

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} ⟹ \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

直观理解：y 随 u 变的速率乘上 u 随 x 变的速率。（ $Δ u = 0$ 的情形用增量性质另行处理。） $■$

典例精析

例 1（商法则）求 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ 的导数。

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$

例 2（两次法则连用）求 $y = (3 x + 1)^{2}$ 的导数。

链式：外层平方函数、内层 $3 x + 1$ ，

$y^{'} = 2 (3 x + 1) \cdot 3 = 6 (3 x + 1) = 18 x + 6$

（展开为 $9 x^{2} + 6 x + 1$ 后逐项求导验证一致。）

对比

运算	法则	易错点
加减	逐项求导	无
乘法	$u^{'} v + u v^{'}$	误当 $u^{'} v^{'}$
除法	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$	分子两项顺序颠倒
复合	外层导 × 内层导	漏乘内层导数

正例与反例

✅ 正例

$f(x)=x^2e^x$ ： $f^\prime(x)=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x$
$y=\ln(2x+1)$ ：外层 $\ln u$ 得 $\frac{1}{2x+1}$ ，内层导数为 2，故 $y^\prime=\frac{2}{2x+1}$

❌ 反例

$(x^2\cdot x)^\prime=2x\cdot 1=2x$ ——错，应为 $(x^3)^\prime=3x^2$ ；乘法法则会给出 $2x\cdot x+x^2\cdot 1=3x^2$
$(\sin 3x)^\prime=\cos 3x$ ——漏乘内层导数 3，应为 $3\cos 3x$

高频误解与考试易错

$(uv)^\prime\ne u^\prime v^\prime$ ，乘法法则不是「各自求导相乘」
商法则分子是「上导下不导 − 上不导下导」，顺序与符号不能颠倒
链式法则求完外层导数后要乘内层导数，漏乘 $g^\prime(x)$ 是最高频错误

常见问题

复合函数怎么分解？

由外向内剥层：

y=\ln(2x+1)

看成

y=\ln u

、

u=2x+1

；求导时

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

，即外层导 × 内层导。

sin 2x 的导数是 2cos 2x 吗？

是。链式法则直接得

2\cos 2x

；先用二倍角化成

2\sin x\cos x

再用乘法法则，结果一致，可互相验证。

商法则记不住怎么办？

口诀「上导下不导，减上不导下导，除以下方平方」：

(u^\prime v-uv^\prime)/v^2

。也可写

u\cdot v^{-1}

用乘法法则推。

依据与出处

人教 A 版（2019 审定）选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》§5.2

导数四则运算法则与链式法则

前置知识

必备前置 学本页前须先掌握

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

相关页面

必备前置学本页前须先掌握