海伦-秦九韶公式

定义

设三角形三边长为 $a、b、c$，记半周长

$p=\frac{a+b+c}{2}$

则三角形面积为

$\boxed{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

这就是海伦公式。我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出等价的三斜求积术：

$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2{c}^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2\right]}$

（$a、c$ 为大小斜、$b$ 为中斜，字母顺序不影响结果。）

推导

在 $△ABC$ 中作底边 $BC=a$ 上的高 $AD=h$，设 $BD=x$，则 $DC=a-x$。在两个直角三角形中分别用勾股定理：

$h^2=c^2-x^2,h^2=b^2-(a-x{)}^2$

两式相等：

$c^2-x^2=b^2-a^2+2ax-x^2⟹x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$

代回求 $h^2$：

$h^2=c^2-\frac{(a^2+c^2-b^2{)}^2}{4a^2}=\frac{4a^2{c}^2-(a^2+c^2-b^2{)}^2}{4a^2}$

于是

$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{c}^2-(a^2+c^2-b^2{)}^2}$

这正是秦九韶公式。根号内平方差分解：

$4a^2{c}^2-(a^2+c^2-b^2{)}^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

把四个因子分别写成 $2p、2(p-a)、2(p-b)、2(p-c)$，乘积为 $16p(p-a)(p-b)(p-c)$，开方并取 $\frac{1}{4}$：

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

即海伦公式。$■$

典例精析

求边长为 $13、14、15$ 的三角形面积及长为 $14$ 的边上的高。

半周长 $p=\frac{13+14+15}{2}=21$：

$S=\sqrt{21\times (21-13)\times (21-14)\times (21-15)}=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84$

设长为 $14$ 的边上的高为 $h$，由 $S=\frac{1}{2}\times 14\times h=84$，得 $h=12$。

对比

面积方法	已知条件	形式
$S=\frac{1}{2}ah$	一边及该边上的高	最简，需高
$S=\frac{1}{2}ab\sin C$	两边及夹角（高中）	需三角函数
海伦公式	三边	无需求高，根式计算
秦九韶公式	三边	海伦公式的等价古式