半角模型：正方形中的45°角
半角模型指正方形内从顶点引出的 45° 角（直角的一半），两边分别交两邻边于 E、F，则 EF 恒等于 BE 与 DF 之和，证法是把一个三角形绕顶点旋转 90° 拼合。
结构：正方形 ABCD 中，E 在 BC 上、F 在 CD 上，∠EAF=45°，恰为直角 ∠BAD 的一半，连接 EF。
标准形：正方形 ABCD 中 ∠EAF=45°（E∈BC，F∈CD），则 EF=BE+DF。
适用前提与边界条件
- 外层必须是正方形（或含直角的等腰结构），否则旋转后拼不合
- 小角必须恰为外层大角（顶角）的一半，45° 配 90°、60° 配 120° 同理，这里不是内角与外角的关系
求解策略
- 旋转拼合：把 △ADF 绕 A 旋转 90°，使 AD 落到 AB，F 落到 CB 延长线上的 G
- 证共线：由 ∠ABG=90° 说明 G、B、E 在同一直线上
- 二次全等：△GAE≅△FAE（SAS），得 EF=GE=GB+BE=DF+BE
- 活推论：△CEF 周长等于两倍边长，常用于反向求边
模型结构
正方形 ABCD 中，E 在 BC 上、F 在 CD 上，从顶点 A 引出的 ∠EAF=45°，恰好是直角 ∠BAD 的一半——「半角」由此得名。
正方形 ABCD 中 ∠EAF=45°，E 在 BC、F 在 CD
核心结论与推导
结论：EF=BE+DF。
证明：把 △ADF 绕 A 顺时针旋转 90°，则 AD 落到 AB，F 落到 CB 延长线上的点 G，且 BG=DF，AG=AF。
- 由 ∠ABG=∠ADF=90° 与 ∠ABE=90°，知 G、B、E 共线；
- ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=90°−45°=45°=∠FAE；
- 故 △GAE≅△FAE（SAS：AG=AF，夹角同为 45°，AE 公共）。
于是 EF=GE=GB+BE=DF+BE。■
典例精析
例：正方形 ABCD 边长为 6，∠EAF=45°，BE=2，求 DF。
解：设 DF=x，由结论 EF=2+x。又 CE=4，CF=6−x，在直角 △CEF 中由勾股定理：
42+(6−x)2=(2+x)2⇒16+36−12x+x2=4+4x+x2⇒x=3.
点评：半角结论把斜边 EF 翻译成两直角边的关系，再交给勾股定理列方程，是本模型的标准解题链。
常见变式
- 反向给件：已知 EF=BE+DF，反推 ∠EAF=45°（结论可逆，证法同为旋转）。
- 等腰直角版：等腰直角三角形直角顶点引 45° 角，结论与证法平移成立。
- 周长版：求 △CEF 周长，直接答两倍边长，是填空压轴常客。
对比与联系
| 模型 | 旋转角 | 核心结论 |
|---|
| 半角模型 | 90°（正方形） | EF=BE+DF |
| 手拉手模型 | 等边三角形的 60° | 拉手线等长 |
| 截长补短模型 | 不依赖旋转 | 和差化相等再全等 |
正例与反例
✅ 正例
- 正方形 ABCD 中 ∠EAF=45°，E∈BC、F∈CD，则 EF=BE+DF
❌ 反例
- ∠EAF 不是 45° 时也套 EF=BE+DF：半角条件缺失，结论一般不再成立
高频误解与考试易错
- !旋转方向选反：要把含 DF 的三角形转向 BC 所在一侧，转反了拼不到同一直线上
- !忘记证 G、B、E 共线：旋转后三点共线是拼合的前提，需用 ∠ABG=90° 说明
- !结论记反边：是 EF=BE+DF，不是 EF=BE+CF，注意 F 在 CD 上、对应段是 DF
常见问题
为什么旋转 90° 就能拼合？
正方形给出
AD=AB 且
∠DAB=90°，绕
A 把
△ADF 旋转
90°，
AD 落到
AB，
DF 落到
BC 的延长线上，
G、
B、
E 共线，两段拼成一段。
第二次全等靠什么？
SAS：
AG=AF（旋转保持），
∠GAE=90°−45°=45°=∠FAE，
AE 公共，故
△GAE≅△FAE。
模型还有什么推论？
△CEF 的周长恰为正方形边长的两倍；
A 到
EF 的距离等于边长；
EA、
FA 分别平分
∠BEF、
∠DFE。
能脱离正方形推广吗？
可以。等腰直角三角形直角顶点引
45° 角、顶角
120° 的等腰三角形内引
60° 角，都是同一「半角」结构的变体，证法同为旋转拼合。
依据与出处
- 人教版（2024 审定）九年级上册 第二十八章《旋转》（2026 秋起使用）
- 人教版（2024 审定）八年级下册 第二十一章《四边形》（正方形）