瓜豆模型：主从联动的轨迹相似

求解策略

1. 找定点：确定主从结构共同的旋转中心 $A$
2. 验两定：验证 $\angle PAQ$ 恒定、$AQ:AP$ 恒定
3. 变基准：把轨迹的基准点（圆心或直线上的参照点）作同样的旋转缩放，得到新轨迹的基准点
4. 定轨迹：$Q$ 与 $P$ 轨迹形状相同、长度成 $k$ 倍，再按起止位置截取对应段

模型结构

如图，$A$ 是定点，$P$ 是沿某确定轨迹运动的主动点，$Q$ 是由 $P$ 生成的从动点：在运动全过程中，夹角 $\angle PAQ$ 始终等于定角 $\alpha$，比值 $AQ:AP$ 始终等于定比 $k$。虚线 $PQ$ 只是连接主、从动点的辅助线。

换句话说，从 $AP$ 到 $AQ$ 是一个固定的几何变换：绕 $A$ 旋转定角 $\alpha$，再放大（或缩小）$k$ 倍。这种「旋转＋缩放」的复合变换叫旋转位似。

核心结论与推导

结论：若主动点 $P$ 的轨迹是直线（或圆），则从动点 $Q$ 的轨迹也是直线（或圆），两轨迹形状相同；轨迹长度满足

$\text{从动点路径长}=k\cdot \text{主动点路径长}.$

证明（以圆形轨迹为例）：设 $P$ 在以 $O_P$ 为圆心、$r$ 为半径的圆上运动。把半径 $O_{P}P$ 连同点 $O_P$ 一起绕 $A$ 旋转 $\alpha$、缩放 $k$ 倍，点 $O_P$ 的对应点记为 $O_Q$，点 $P$ 的对应点正是 $Q$。

由旋转位似，$△A{O}_{P}P$ 与 $△A{O}_{Q}Q$ 满足两边成比例、夹角相等：

$\frac{A{O}_Q}{A{O}_P}=\frac{AQ}{AP}=k,\angle O_{Q}AQ=\angle O_{P}AP,$

故 $△A{O}_{P}P\backsim △A{O}_{Q}Q$，于是 $O_{Q}Q=k\cdot O_{P}P=kr$ 为定值。所以 $Q$ 在以 $O_Q$ 为圆心、$kr$ 为半径的圆上运动。直线轨迹的情形同理（旋转位似把直线变成直线）。$■$

「种瓜得瓜，种豆得豆」：主动点走出什么形状，从动点就走出什么形状。

典例精析

例：如图，定点 $A$，动点 $P$ 在定直线 $l$ 上运动，以 $AP$ 为一边作 $\angle PAQ=90°$，并使 $AQ=\frac{1}{2}AP$（旋转方向固定）。若 $P$ 在 $l$ 上走过的路径长为 $8$，求 $Q$ 的路径长。

解：运动中 $\angle PAQ=90°$ 为定角、$AQ:AP=1:2$ 为定比，符合瓜豆模型。$P$ 的轨迹是直线，故 $Q$ 的轨迹也是直线；定比 $k=\frac{1}{2}$，所以

$\text{Q 的路径长}=\frac{1}{2}\times 8=4.$

常见变式

1. 共线缩放型：$\alpha =0°$（$P$、$A$、$Q$ 共线），此时 $Q$ 在射线 $AP$ 上按固定比例分取，$Q$ 的轨迹直线与 $P$ 所在直线平行（或重合），两轨迹相似。
2. 圆形轨迹＋最值型：$P$ 在定圆上运动，$Q$ 的轨迹也是圆，求 $Q$ 到某定点或直线的距离最值时，用「圆心距加半径」处理。
3. 定比为 $1$ 型：$k=1$ 时只有旋转没有缩放，$Q$ 的轨迹与 $P$ 的轨迹全等，这就是手拉手模型的动态版本。

对比与联系

模型	动点关系	变换	轨迹结论
瓜豆	$P$ 主动、$Q$ 从动	旋转＋缩放	轨迹形状相同，长度成定比
手拉手	两个图形共顶点	纯旋转（$k=1$）	对应边相等，拉手线等长
旋转相似	两个静态三角形	共点旋转相似	拉手线成定比、夹定角
阿氏圆	一动点对两定点	到两定点距离定比	动点轨迹本身是圆