胡不归模型：加权路径最短问题

求解策略

1. 识系数：确认目标式为 $PA+k \cdot PB$ 且 $0 < k < 1$
2. 作构造角：过 $B$ 在 $A$ 的异侧作射线 $BG$，使 $\angle PBG=\alpha$，$\sin \alpha=k$
3. 化系数：作 $PH \perp BG$ 于 $H$，则 $k \cdot PB=PH$，目标变为 $PA+PH$
4. 垂线段最短：$A$、$P$、$H$ 共线垂直于 $BG$ 时取最小，最小值为 $A$ 到 $BG$ 的距离

模型结构

直线 $l$ 是驿道，$B$ 在道上（出发处），$A$ 在道外（家）。$P$ 是道上的「下道点」。在 $B$ 的另一侧作射线 $BG$ 与 $l$ 成角 $\alpha$（图中 $\alpha =30°$），作 $PH\perp BG$ 于 $H$，则 $PH=PB\sin \alpha$，带系数线段被换成了垂线段。

核心结论与推导

结论：$(PA+k\cdot PB{)}_{\min }=A$ 到构造射线 $BG$ 的垂线段长，其中 $\alpha =\arcsin k$。

证明：设 $\sin \alpha =k$。对任意 $P\in l$，作 $PH\perp BG$ 于 $H$，直角三角形中

$PH=PB\sin \alpha =k\cdot PB,$

故 $PA+k\cdot PB=PA+PH\ge A{H}^{\prime }$，其中 $A{H}^{\prime }$ 是 $A$ 到直线 $BG$ 的垂线段（点到直线，垂线段最短）。等号当 $A$、$P$、$H$ 共线且该线垂直于 $BG$ 时取得。$■$

当 $k=\frac{1}{2}$ 时 $\alpha =30°$，是中考最常考的取值。

典例精析

例：如图，$A$ 到驿道 $l$ 的距离为 $4$，$AB=8$，求 $PA+\frac{1}{2}PB$ 的最小值。

解：作射线 $BG$ 使 $\angle PBG=30°$（在 $A$ 的异侧），则 $\frac{1}{2}PB=PH$。由 $A$ 到 $l$ 的距离为 $4$、$AB=8$，知直线 $AB$ 与 $l$ 的夹角满足 $\sin \angle (AB,l)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即该夹角为 $30°$。直线 $BG$ 与 $l$ 也成 $30°$ 且与 $AB$ 分居 $l$ 两侧，故直线 $AB$ 与 $BG$ 的夹角为 $30°+30°=60°$。最小值等于 $A$ 到直线 $BG$ 的垂线段长：

$h=AB\sin 60°=8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$

点评：「构造角 → 垂线段 → 解直角三角形」三步走，系数 $k$ 特殊角（$\frac{1}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$）时全程无需求导。

常见变式

1. 双权重型：$k_1\cdot PA+k_2\cdot PB$ 先提公因子化为标准形。
2. 折射定律版：光在两种介质中的最速路径，即 $\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_1}{v_2}$，胡不归是其 $k$ 倍形式的几何解。
3. 圆上动点版：$P$ 改在圆上滑动时，胡不归手法失效，转用阿氏圆模型。

对比与联系