蝴蝶模型（风筝模型）：交叉对角线两侧等积

求解策略

1. 认蝶：找对角线交点 $O$ 与四块小三角形
2. 看平行：有 $AB\parallel CD$ 则直接用两侧翅膀等积
3. 写乘积：一般情况写 $S_{上}S_{下}=S_{左}S_{右}$
4. 配比例：平行时 $AO:OC=BO:OD=AB:CD$，配合等高模型分配面积

模型结构

如图，$AB\parallel CD$（$AB$ 短在上、$CD$ 长在下），连接 $AC$、$BD$ 交于 $O$，分出上翅三角形 $OAB$、下翅三角形 $OCD$ 和两侧翅膀 $OAD$、$OBC$。

核心结论与推导

结论一（平行时两侧等积）：$AB\parallel CD$ 时，

$S_{△OAD}=S_{△OBC}.$

推导：三角形 $ACD$ 与 $BCD$ 同以 $CD$ 为底，$A$、$B$ 在与 $CD$ 平行的直线上，两三角形等高，面积相等。它们都含有公共的下翅三角形 $OCD$，同时减去：

$S_{△ACD}-S_{△OCD}=S_{△BCD}-S_{△OCD},$

即 $S_{△OAD}=S_{△OBC}$。$■$

结论二（任意四边形，对顶乘积相等）：对角线分成四块，依次记上、右、下、左为 $S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则

$S_1{S}_3=S_2{S}_4.$

它由两次等高模型得到：$S_1:S_4=BO:OD$ 且 $S_2:S_3=BO:OD$（两组三角形分别以 $OB$、$OD$ 为底、对 $BD$ 同高），等量代换即可。

典例精析

例：如图，$AB\parallel CD$，对角线交于 $O$，三角形 $OAD$ 的面积为 $15{\text{ cm}}^2$。求三角形 $OBC$ 的面积。

解：由蝴蝶模型（平行时两侧翅膀等积），

$S_{△OBC}=S_{△OAD}=15{\text{ cm}}^2.$

常见变式

1. 梯形蝴蝶：梯形两条对角线分出四小块，两腰侧翅膀等积；上下翅面积比等于上下底平方比。
2. 任意四边形求块：知三求一，用 $S_1{S}_3=S_2{S}_4$。
3. 对角线中点型：一条对角线被交点平分时，四小块呈对称等积。

对比与联系