燕尾模型和等高模型是什么关系？

燕尾是等高的两次叠加：先用两次等高把左右两瓣面积比化到 $AP:PD$，再用一次等高把底部两小块面积比化到 $BD:DC$，两相比值相等，燕尾就出来了。

$AD$ 是中线时有什么特殊结论？

$D$ 为 $BC$ 中点（$BD=DC$）时，无论 $P$ 在中线 $AD$ 上的什么位置，左右两瓣面积始终相等。

这个模型为什么叫燕尾？

线段 $PB$、$PC$ 从主枝 $AD$ 两侧分出，形似燕子尾羽分叉；分叉处面积配比由底部两段决定。

燕尾模型：共线分点把面积比传到两边

燕尾模型给出：在三角形 ABC 中，若 D 在 BC 上、P 在 AD 上，则左右两侧三角形 ABP 与 ACP 的面积比等于底边被分的两段之比 BD 比 DC。因辅助线形似燕尾得名，是面积比互相转化的经典模型。

求解策略

找主枝：认准从顶点 $A$ 到对边 $BC$ 的线段 $AD$
辨两瓣：左瓣 $ABP$ 、右瓣 $ACP$
写燕尾： $S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ACP}=BD:DC$
联动：面积比与底边比互化，配合中点条件得等积

模型结构

如图，三角形 $A B C$ 中， $D$ 是底边 $B C$ 上一点， $P$ 是线段 $A D$ 上一点，连接 $P B$ 、 $P C$ 。线段 $P B$ 、 $P C$ 像从主枝 $A D$ 分出的两片燕尾，把图形分成四个小三角形。

P 在 AD 上，左右两瓣三角形 ABP、ACP 的面积比等于 BD 比 DC

核心结论与推导

结论：

$S_{△ A B P} : S_{△ A C P} = B D : D C .$

推导：分两步用等高模型。

第一步，看左半大三角形 $A B D$ ：三角形 $A B P$ 与 $D B P$ 同以 $B$ 到直线 $A D$ 的距离为高，面积比等于底之比：

$\frac{S _{△ A B P}}{S _{△ D B P}} = \frac{A P}{P D} .$

同理，看右半大三角形 $A C D$ ：

$\frac{S _{△ A C P}}{S _{△ D C P}} = \frac{A P}{P D} .$

于是 $\frac{S _{△ A B P}}{S _{△ D B P}} = \frac{S _{△ A C P}}{S _{△ D C P}}$ ，交换内外项得

$\frac{S _{△ A B P}}{S _{△ A C P}} = \frac{S _{△ D B P}}{S _{△ D C P}} .$

第二步，底部两个小三角形 $D B P$ 、 $D C P$ 同高（以 $P$ 到 $B C$ 的距离为高），面积比等于底之比 $B D : D C$ 。故

$S_{△ A B P} : S_{△ A C P} = B D : D C . ■$

典例精析

例：如图，三角形 $A B C$ 中， $D$ 在 $B C$ 上， $B D : D C = 3 : 2$ ， $P$ 在 $A D$ 上，三角形 $A B P$ 的面积为 $18 cm^{2}$ 。求三角形 $A C P$ 的面积。

解：由燕尾模型，

$18 : S_{△ A C P} = 3 : 2,$

解得 $S_{△ A C P} = 12 cm^{2}$ 。

常见变式

中线燕尾： $A D$ 为中线（ $B D = D C$ ）， $P$ 在 $A D$ 任意位置，恒有 $S_{△ A B P} = S_{△ A C P}$ 。
双燕尾型：三角形内一点与三个顶点相连，从三组燕尾中得到三组面积比，联立求解三个小三角形面积。
逆求分点：已知两瓣面积比，反求 $D$ 在 $B C$ 上的分点位置。

对比与联系

模型	比的两端	核心等式
等高模型	同高两小三角形	面积比 $=$ 底之比
燕尾模型	主枝两侧两瓣	面积比 $=$ 底边两段比
蝴蝶模型	交叉线两侧两组角	对顶两组面积乘积相等

燕尾模型：共线分点把面积比传到两边

适用前提与边界条件

求解策略

模型结构

核心结论与推导

典例精析

常见变式

对比与联系

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

燕尾模型：共线分点把面积比传到两边

适用前提与边界条件

求解策略

模型结构

核心结论与推导

典例精析

常见变式

对比与联系

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

学习前置

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