8字模型：对顶三角形的角度与相似

求解策略

1. 认出对顶：找到交点 $O$，标出隐含的对顶角相等
2. 角和转移：用内角和把一侧两角之和搬到另一侧
3. 查平行：若有 $AB \parallel CD$，立即 AA 出相似
4. 比例计算：对应边成比例求线段长，注意对应顺序

模型结构

$AB$ 在上方、$CD$ 在下方，连线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$△AOB$ 与 $△COD$ 隔点对顶，整个图形像一个横放的「8」。图中 $AB\parallel CD$，是带相似结论的常用配置。

核心结论与推导

结论一（角度）：无论是否平行，$\angle OAB+\angle OBA=\angle OCD+\angle ODC$。

证明：$\angle AOB=\angle COD$（对顶角相等）。由三角形内角和，

$\angle OAB+\angle OBA=180°-\angle AOB=180°-\angle COD=\angle OCD+\angle ODC.$

$■$

结论二（相似）：若 $AB\parallel CD$，则 $△AOB\sim △COD$，且 $\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}$。

证明：平行给出内错角 $\angle OAB=\angle OCD$，$\angle OBA=\angle ODC$，AA 相似成立，对应边成比例。$■$

典例精析

例：如图，$AB\parallel CD$，$AB=2$，$CD=3$，$AC=10$，求 $AO$。

解：由 8 字相似，$\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$。又 $AO+CO=AC=10$，故 $AO=10\times \frac{2}{5}=4$。

点评：图中相似比恰为 $2:3$，与作图比例一致。8 字模型求线段长的固定套路就是「相似比 + 和差关系」联立。

常见变式

1. 纯角度版：无平行条件，只用角和转移求未知角，学过八上《三角形》内角和后即可处理。
2. 圆内相交弦版：$AC$、$BD$ 是圆的两条弦，相似升级为相交弦定理。
3. 构造 8 字：求两条线段比时，过端点作平行线人为造出 8 字，是常见的辅助线思路。

对比与联系