角平分线四大模型：一平分四法宝

Q: 四大模型是哪四个？

① 作垂模型：平分线上点向两边作垂线，$DE=DF$；② 翻折模型：沿平分线翻折或在两边截等段，出全等；③ 等腰模型：平分线遇平行线交出等腰三角形；④ 比例模型：角平分线定理 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$。

Q: 比例定理怎么证明？

面积法最简：$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{BD}{DC}$（同高），又等于 $\frac{AB \cdot DE}{AC \cdot DF}=\frac{AB}{AC}$（$DE=DF$），两式相等即得定理。

角平分线四大模型：一平分四法宝

角平分线四大模型汇总角平分线的四种标准用法：向两边作垂线得等距、沿平分线翻折截等段出全等、平分线遇平行出等腰、分对边成比例，一张图看清何时用哪招。

结构：图中 $\triangle ABC$ 的角平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$ ， $DE \perp AB$ 于 $E$ ， $DF \perp AC$ 于 $F$ ； $DE=DF$ （等距）， $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ （比例）。

标准形： $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $D \in BC \Rightarrow$ ① $DE=DF$ （ $DE \perp AB$ 、 $DF \perp AC$ ）；② 翻折出全等；③ 遇平行出等腰；④ $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ 。

适用前提与边界条件

必须有明确的角平分线条件（图形标注或文字说明），仅有「过顶点的线」不可套用
四招各有适用场景：求距离用作垂，证和差用翻折，见平行想等腰，算比例用定理

求解策略

认平分线：确认 $AD$ 平分 $\angle BAC$
求距离面积：作 $DE \perp AB$ 、 $DF \perp AC$ ，用 $DE=DF$
证和差：沿 $AD$ 翻折或截等段，凑 SAS 全等
算比例： $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ 直接分段，见平行则转等腰

模型结构

$△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ；从 $D$ 向两边作垂线， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ 、 $D F ⊥ A C$ 于 $F$ 。这一张图同时装着四大模型的前两招： $D E = D F$ （等距）与 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ （比例）。

AD 平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE=DF 且 BD/DC=AB/AC

核心结论与推导

结论①（性质定理）： $D E = D F$ 。

证明： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，故 $∠ E A D = ∠ F A D$ ；又 $∠ A E D = ∠ A F D = 90°$ ， $A D$ 公共，

$△ A E D ≅ △ A F D (AAS) \Rightarrow D E = D F .$

结论④（角平分线定理）： $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ 。

证明： $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 对 $B C$ 同高，故 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{B D}{D C}$ ；又以 $A B$ 、 $A C$ 为底时高分别为 $D E$ 、 $D F$ ，且 $D E = D F$ ，故 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{A B}{A C}$ 。两式相等即

$\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} .$

$■$

典例精析

例： $△ A B C$ 中 $A B = 9$ ， $A C = 6$ ， $B C = 10$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ 。求 $B D$ 、 $D C$ 。

解：由角平分线定理 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ ，又 $B D + D C = 10$ ，故

$B D = 10 \times \frac{3}{5} = 6, D C = 10 \times \frac{2}{5} = 4.$

点评：比例定理把「角平分」翻译成「边分段比」，是代数化处理角平分线条件的标准动作。

常见变式

翻折截段：在 $A B$ 上截 $A E = A C$ （或翻折 $△ A C D$ ），证 $△ A E D ≅ △ A C D$ ，转移线段证和差，与截长补短模型联动。
遇平行出等腰：过 $C$ 作 $A D$ 的平行线交 $B A$ 延长线于 $G$ ，则 $△ A C G$ 为等腰（ $∠ G = ∠ B A D = ∠ D A C = ∠ A C G$ ）。
外角平分线：外角平分线分对边外分比 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ （ $D$ 在 $B C$ 延长线上），结构与内角版对偶。

对比与联系

招式	辅助动作	产出	典型场景
作垂模型	向两边作垂线	$D E = D F$	距离、面积
翻折模型	截等段或翻折	全等三角形	线段和差
等腰模型	作平分线的平行线	等腰三角形	导角、证等边
比例模型	直接用定理	对边分段比	长度计算

正例与反例

✅ 正例

$AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $DE \perp AB$ 于 $E$ 、 $DF \perp AC$ 于 $F$ ，则 $DE=DF$ ；且 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

❌ 反例

由 $AD$ 平分 $\angle BAC$ 直接写 $BD=DC$ ：平分角不等于平分边，只有 $AB=AC$ （等腰）时才有 $BD=DC$

高频误解与考试易错

性质定理用错方向：是「平分线上的点到两边距离相等」（ $DE=DF$ ），不是到两顶点等距
比例定理记反： $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ （左比左、右比右），写成 $\frac{BD}{DC}=\frac{AC}{AB}$ 就颠倒
翻折后忘写全等链：截等段或翻折只是开局，必须接 SAS 全等与线段转移才算走完

常见问题

四大模型是哪四个？

① 作垂模型：平分线上点向两边作垂线，

DE=DF

；② 翻折模型：沿平分线翻折或在两边截等段，出全等；③ 等腰模型：平分线遇平行线交出等腰三角形；④ 比例模型：角平分线定理

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

。

怎么快速判断用哪一招？

看所求：求点到边距离或面积用①；证线段和差用②；图中已有平行线或要造等腰用③；涉及对边分段比例用④。

比例定理怎么证明？

面积法最简：

\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{BD}{DC}

（同高），又等于

\frac{AB \cdot DE}{AC \cdot DF}=\frac{AB}{AC}

（

DE=DF

），两式相等即得定理。

依据与出处

人教版（2024 审定）八年级上册第十四章《全等三角形》

角平分线四大模型：一平分四法宝

适用前提与边界条件

求解策略

模型结构

核心结论与推导

典例精析

常见变式

对比与联系

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

学习前置

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