截长补短模型：线段和差的全等转化

求解策略

1. 看结论：确认目标为 $a=b+c$ 型线段和差
2. 选方向：优先截长，截在长线段上且截取段等于已知短段
3. 证全等：利用角平分线、公共边等条件凑 SAS 或 AAS
4. 换段：由全等把余下段换成目标短段，拼出结论

模型结构

$△ABC$ 中 $\angle A=90°$、$\angle B=60°$、$\angle C=30°$（即 $\angle B=2\angle C$），$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于 $D$。在较长的直角边 $AC$ 上截取 $AE=AB$，连接 $DE$——这一「截」就是全题的眼。

核心结论与推导

结论：上图配置下 $AC=AB+BD$。

证明：$AD$ 平分 $\angle BAC$，故 $\angle BAD=\angle EAD=45°$。又 $AB=AE$（截取），$AD$ 公共，故

$△ABD\cong △AED(\text{SAS})\Rightarrow BD=ED,\angle AED=\angle B=60°.$

于是 $\angle DEC=180°-60°=120°$，在 $△DEC$ 中 $\angle EDC=180°-120°-30°=30°=\angle C$，故 $ED=EC$。代回：

$AC=AE+EC=AB+ED=AB+BD.$

$■$

截出 $AE=AB$ 把「和」藏进 $AC$，再用全等与等腰把余段 $EC$ 换成 $BD$，是截长法的完整示范。

典例精析

例：$△ABC$ 中 $\angle B=2\angle C$，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。求证：$AC=AB+BD$（一般形式，不限直角）。

证：在 $AC$ 上截取 $AE=AB$，连 $DE$。由 $AD$ 平分 $\angle BAC$ 得 $△ABD\cong △AED$（SAS），故 $BD=ED$，$\angle AED=\angle B=2\angle C$。又 $\angle AED$ 是 $△DEC$ 的外角，$\angle AED=\angle EDC+\angle C$，故 $\angle EDC=\angle C$，$ED=EC$。于是 $AC=AE+EC=AB+BD$。$■$

点评：注意本例不要求 $\angle A=90°$——直角只是上图的特例，「$\angle B=2\angle C$ + 角平分线」才是模型的真正骨架。

常见变式

1. 补短方向：延长 $AB$ 至 $F$ 使 $BF=BD$，证 $AF=AC$，适用于截长不便时。
2. 差的形式：证 $a=b-c$，化为 $a+c=b$ 后同样截长补短。
3. 角平分线翻折版：沿角平分线翻折三角形，与截长补短等价，动态视角更好想。

对比与联系