等腰三角形的性质与判定

定义

性质定理 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。

性质定理 2（三线合一）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

等边三角形：三边都相等的三角形，三个内角都是 $60^{\circ }$。它是等腰三角形的特例——等腰只要求「至少两边相等」。

推导

等边对等角：已知 $△ABC$ 中 $AB=AC$，求证 $\angle B=\angle C$。

作顶角 $\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$。在 $△ABD$ 与 $△ACD$ 中：

$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle BAD=\angle CAD\\ AD=AD\end{array}$

其中 $AD$ 是公共边。故 $△ABD\cong △ACD$（SAS），于是 $\angle B=\angle C$。$■$

三线合一：上面的全等同时给出 $BD=CD$（中线）与 $\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ }$（高），故顶角平分线也是底边上的中线和高。

反过来用同样成立：若已知某条线是底边上的中线或底边上的高，就能推出它同时是顶角平分线。所以遇到等腰三角形，作底边上的高往往就是那条关键辅助线。

要注意的是三线合一只对底边成立：腰上的中线、腰上的高都不具有这个性质。

判定（等角对等边）：已知 $\angle B=\angle C$，求证 $AB=AC$。

作 $\angle A$ 的平分线 $AD$，由 AAS 判定 $△ABD\cong △ACD$（两角及公共边），故 $AB=AC$。$■$

等边三角形每个角都是 $60^{\circ }$：三边相等则三角相等，由内角和 $3\angle A=180^{\circ }$，得 $\angle A=60^{\circ }$。

已知一个角求其余两角——要分类

题目只说「一个角是多少」，却没说是顶角还是底角，这时必须分两类：

• 若该角是顶角，则两个底角各为 $\frac{180^{\circ }-\alpha }{2}$
• 若该角是底角，则顶角为 $180^{\circ }-2\alpha$

分类之后还要检验：两个底角相等且都小于 $90^{\circ }$，所以直角和钝角只能是顶角。这一条能直接排除掉一类，例如已知角为 $100^{\circ }$ 时，它不可能是底角。

一腰上的高与另一腰的夹角

这个夹角随顶角是锐角还是钝角而不同：

• 顶角 $\alpha$ 为锐角时，高落在另一腰上，夹角为 $90^{\circ }-\alpha$
• 顶角 $\alpha$ 为钝角时，高落在另一腰的延长线上，夹角为 $\alpha -90^{\circ }$

两种情形画出的图形不一样，答案也不一样。题目没说明顶角类型时，必须分类讨论。

等边三角形的三种判定

1. 三边都相等（定义）
2. 三个角都相等（都等于 $60^{\circ }$）
3. 有一个角是 $60^{\circ }$ 的等腰三角形

第 3 条最常用，也最容易用错——前提是它已经是等腰三角形。一个普通三角形里有一个 $60^{\circ }$ 角，其余两角可以是 $70^{\circ }$ 和 $50^{\circ }$，并不是等边三角形。

典例精析

等腰三角形一个角为 $100^{\circ }$，求其余两角。

$100^{\circ }$ 只能是顶角（若是底角，则两底角之和 $200^{\circ }>180^{\circ }$，矛盾）。故两个底角各为

$\frac{180^{\circ }-100^{\circ }}{2}=40^{\circ }$

再练一道需要分类的：等腰三角形一个角为 $40^{\circ }$，求其余两角。

分两类讨论：

• 若 $40^{\circ }$ 是顶角，则两个底角各为 $\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}=70^{\circ }$
• 若 $40^{\circ }$ 是底角，则另一个底角也是 $40^{\circ }$，顶角为 $180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$

故答案是 $70^{\circ }$、$70^{\circ }$，或 $40^{\circ }$、$100^{\circ }$。两类都成立，漏掉任一类就是漏解。

对比

	性质	判定
边角互化	等边推出等角	等角推出等边
三线	顶角平分线 = 底边中线 = 底边高	用于构造全等
特例	等边三角形的三个内角都是 $60^{\circ }$	有一个角是 $60^{\circ }$ 的等腰三角形是等边三角形

与其他知识的联系

等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是顶角平分线所在的直线——这正是「三线合一」的几何来源：底边被对称轴垂直平分，于是顶角平分线同时是底边上的中线和高。

它的两个直接下游结论是：含 $30^{\circ }$ 角的直角三角形（$30^{\circ }$ 角所对的直角边等于斜边的一半，可由等边三角形作三线合一推出）与直角三角形斜边中线定理。再往后，等腰三角形中的边角关系会被锐角三角函数重新表述。