赵爽弦图模型：以形证数证勾股

求解策略

1. 证全等：由外方直角加两组等边，SAS 证四个直角三角形全等
2. 定内方：斜边相等得四边等，再由两锐角互余证内四边形一个角为 $90°$
3. 列面积：外方面积 $=$ 四个三角形面积 $+$ 内方面积
4. 推计算：用勾股定理在三个边长（两直角边、斜边）间互求

模型结构

如图，$ABCD$ 是大正方形，点 $E$、$F$、$G$、$H$ 分别在边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 上，且

$AE=BF=CG=DH.$

由正方形四边相等，余量也相等：$EB=FC=GD=HA$。虚线四边形 $EFGH$ 内接于大正方形，四个角上各有一个直角三角形：$△AEH$、$△BFE$、$△CGF$、$△DHG$。

核心结论与推导

结论：四个角上的直角三角形全等，$EFGH$ 是正方形；设每个直角三角形的两直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$，则

$c^2=a^2+b^2.$

证明：外方四角都是直角，且

$AE=BF=CG=DH=b,AH=BE=CF=DG=a,$

由两边及其夹角对应相等（SAS），

$△AEH\cong △BFE\cong △CGF\cong △DHG.$

于是斜边 $EF=FG=GH=HE$。又由全等知 $\angle AHE=\angle BEF$，而在直角三角形 $AEH$ 中 $\angle AEH+\angle AHE=90°$，故

$\angle AEH+\angle BEF=90°,\angle HEF=90°.$

所以 $EFGH$ 是正方形，其边长 $EF=c=\sqrt{a^2+b^2}$。

再用两种方式算大正方形（边长为 $a+b$）的面积：

$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2.$

展开左端 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去 $2ab$，得

$c^2=a^2+b^2.■$

典例精析

例：如图弦图中，四个全等直角三角形的两直角边分别为 $a=3$、$b=5$。求内接正方形 $EFGH$ 的面积，以及大正方形 $ABCD$ 的边长。

解：内接正方形的边长即直角三角形的斜边长：

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34},$

故内接正方形面积 $S_{EFGH}=c^2=34$。大正方形边长为 $a+b=8$（验算：$64=4\times \frac{1}{2}\times 15+34=30+34$，成立）。

常见变式

1. 面积差型：已知外方、内方面积，求四个直角三角形的直角边（解 $a+b$、$a^2+b^2$ 的方程组）。
2. 外弦图（赵爽原图）：四个直角三角形向同一方向环绕、小正方形居中，是本图的经典排布方式。
3. 公式几何意义型：$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 与 $(b-a{)}^2=a^2-2ab+b^2$ 都能在弦图上直接读出。

对比与联系