一半模型：矩形里顶边三角形占一半

求解策略

1. 认底：找到与矩形边重合的三角形底边，如 $BC$
2. 认顶：确认顶点 $E$ 在对边 $AD$ 上（不必是中点）
3. 用半：直接写 $S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
4. 求余：剩余两小块面积和 $=$ 另一半，再配合等高、中点条件细分

模型结构

如图，矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是上边 $AD$ 上的任意一点（不必是中点），连接 $EB$、$EC$，得到三角形 $EBC$。

核心结论与推导

结论：无论 $E$ 在 $AD$ 上的什么位置，都有

$S_{△EBC}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.$

推导：以 $BC$ 为底看三角形 $EBC$，它的高是点 $E$ 到直线 $BC$ 的距离。因为 $E$ 在与 $BC$ 平行的边 $AD$ 上，平行线间距离处处相等，这个高恒等于矩形的宽 $AB$。于是

$S_{△EBC}=\frac{1}{2}\times BC\times AB=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.■$

典例精析

例：如图，矩形 $ABCD$ 的面积是 $60{\text{ cm}}^2$，$E$ 是边 $AD$ 上一点。求阴影三角形 $EBC$ 的面积。

解：三角形以 $BC$ 为底、顶点 $E$ 在对边 $AD$ 上，符合一半模型：

$S_{△EBC}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}\times 60=30{\text{ cm}}^2.$

若另知 $E$ 是 $AD$ 的中点，则两侧的两个三角形各占矩形的 $\frac{1}{4}$，即各为 $15{\text{ cm}}^2$。

常见变式

1. 平行四边形版：平行四边形中同样的构造，三角形面积仍占一半。
2. 同底双三角形版：对边 $AD$ 上取两点 $E$、$F$，三角形 $EBC$、$FBC$ 同底等高，面积各占矩形的一半。
3. 内部点版：矩形内任一点与四个顶点相连，相对的两组三角形面积之和各占矩形的一半（一半模型的推广）。

对比与联系