阿基米德与王冠：浴缸里喊出的「尤里卡」

背景

叙拉古国王希伦二世命工匠打造纯金王冠，事后怀疑工匠掺了银。王冠形状复杂，不能熔化、不能破坏，怎么知道里面是不是纯金？

传说中，阿基米德在浴缸里看到水位随身体上升而恍然大悟，高喊「尤里卡！」（我发现了）冲上街头。他悟到的正是：不规则物体的体积，等于它排开的水的体积。

史料辨析

有争议 王冠故事的最早记载出自罗马建筑师维特鲁威《建筑十书》（约公元前 30 年），距阿基米德时代约两百年。浴缸、裸奔等细节被认为是后世文学加工；现代学者还指出：若掺银比例不高，满盆溢水的绝对水量差很小，仅凭排水精度未必能实测定罪；伽利略就曾怀疑实际操作用的是更精密的天平式排水法。

史实 阿基米德本人的传世著作《论浮体》严格证明了浮力定律：浸在流体中的物体受到的浮力等于它排开流体的重量。他还以穷竭法算出球体积、抛物线面积等成果，是古希腊最伟大的数学家。

数学内核

故事背后的数学是体积与密度的分离。设王冠质量为 $m$，若纯金，体积应为

$V_{\text{纯金}}=\frac{m}{{\rho }_{\text{金}}}$

若掺入质量为 $s$ 的银（${\rho }_{\text{银}}\approx \frac{10.5}{19.3}{\rho }_{\text{金}}$，同质量下体积约为金的 1.84 倍），王冠实际体积

$V=\frac{m-s}{{\rho }_{\text{金}}}+\frac{s}{{\rho }_{\text{银}}}>V_{\text{纯金}}$

于是「取一块与王冠等重的纯金，分别浸入满水容器比较排水量」：排水多的体积大，必掺了较轻的金属。称质量无法揭穿的骗局，测体积一招拆穿——质量相同而密度不同，体积必然不同。

排水法把「求不规则体积」转化为「测排开液体的体积」，后者倒进量杯即可读出。这种「等量替换」与曹冲称象异曲同工：不可测的对象，换成等效的可测对象。今天测量土豆、石块的体积，用的仍是这条两千年前的思路；而浮力定律本身，则通向初中物理的压强与浮沉。

说法与史实