周长与面积：一圈的长度与铺满的大小

定义

周长：封闭图形一周的长度。它是一条线段的长度，是一维的量，常用单位有厘米、分米、米。

面积：物体表面或封闭图形内部的大小。它是平面被铺满的范围，是二维的量，常用单位有平方厘米、平方分米、平方米。

对长 $a$、宽 $b$ 的长方形：

$C=2(a+b),S=ab$

对边长 $a$ 的正方形：

$C=4a,S=a^2$

周长和面积都在描述同一个长方形，但一个量「边线有多长」，一个量「里面有多大」，不能互相替代。

算理：一圈与铺满

周长是绕一圈。 长方形有四条边，两条长、两条宽，所以

$C=a+b+a+b=2(a+b)$

正方形四条边一样长，所以 $C=4a$。

面积是铺满。 用边长 1 厘米的小正方形去铺一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形：沿长边一排铺 5 个，沿宽边铺 3 排，一共 $5\times 3=15$ 个小正方形。每个小正方形面积是 1 平方厘米，所以总面积是 15 平方厘米。

同样长的边线，围出的面积不一定相同。周长是「边界」，面积是「内部」，这就是两者最根本的区别。

典例精析

例 1 长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形。

周长：$2\times (5+3)=16$（厘米）。

面积：$5\times 3=15$（平方厘米）。

答：周长 16 厘米，面积 15 平方厘米。

例 2 用一根长 16 厘米的绳子围长方形，能围出哪些情况？

长 7 厘米、宽 1 厘米：周长 16 厘米，面积 7 平方厘米。

长 5 厘米、宽 3 厘米：周长 16 厘米，面积 15 平方厘米。

长 4 厘米、宽 4 厘米：周长 16 厘米，面积 16 平方厘米。

周长相同，面积却不同。周长相等的长方形中，长和宽越接近，面积越大；围成正方形时面积最大。

例 3 长 2 米、宽 50 厘米的长方形。

先统一单位：2 米 $=200$ 厘米。

面积：$200\times 50=10000$（平方厘米）$=1$（平方米）。

周长：$2\times (200+50)=500$（厘米）$=5$（米）。

单位不统一就直接用 2 和 50 相乘，会得到错误的结果。

对比

项目	周长	面积
量什么	一周边线的长度	内部铺满的大小
维度	一维	二维
常用单位	厘米、分米、米	平方厘米、平方分米、平方米
长方形公式	$C=2(a+b)$	$S=ab$
正方形公式	$C=4a$	$S=a^2$
测量方法	绕边量一圈	用面积单位铺满
周长相等时	边线总长相同	面积不一定相同
能否直接比较	不能与面积比较	不能与周长比较

给家长的讲法

找一根绳子和一张方格纸。先用绳子沿课本封面绕一圈，剪下绳长，告诉孩子这就是周长；再把封面放在方格纸上描出轮廓，数一数里面有多少个方格，告诉孩子这就是面积。然后问：绳子长和方格多，哪个更大？引导孩子说出「一个是长度，一个是大小，不能比」。三分钟就能把两个概念分开。一句话可复述：周长是绕一圈的长度，面积是铺满的大小；单位不同，不能比较。

课堂提示

• 本页难点：周长与面积的量纲不同，不能因为数值接近就混用。
• 一句提问：同样一根 16 厘米的绳子，为什么围出的长方形面积不一样？
• 板书/操作：左边写 $C=2(a+b)$ 并画一圈箭头，右边写 $S=ab$ 并画铺满的方格，两栏之间写「不能比较」。