北师大版六年级上册第五单元《比的认识》教材同步学习指南

定义

比：两个数相除又叫做两个数的比。例如 $15÷10$ 可以写成 $15:10$，读作 15 比 10。比号前面的数叫前项，比号后面的数叫后项。

比值：比的前项除以后项所得的商，叫比值。比值是一个数，可以是整数、分数或小数，如 $15:10$ 的比值是 $\frac{3}{2}$ 或 1.5。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比的依据。

化简比：把比化成前项和后项都是整数且互质的最简整数比，如 $15:10=3:2$。

按比分配：把一个总量按照一定的比分成若干部分。先求总份数，再求每份或各部分占总量的几分之几。

比与除法、分数的关系：$a:b=a÷b=\frac{a}{b}$（$b\ne 0$）。比表示两个量的关系，除法是一种运算，分数是一个数。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
比的意义	理解比、前项、后项、比值	会读比、写比、求比值
比与除法、分数	建立三者对应关系	会把比改写成分数或除法
比的基本性质	前后项同时乘除相同的数	理解比值不变的道理
化简比	化成最简整数比	会化简整数比、分数比、小数比
按比分配	求总份数，分配总量	会解决分物、配料、面积分配问题

学习顺序的关键是「先理解关系，再掌握性质，最后应用」。比的意义不清，化简比就容易写成比值；基本性质不熟，按比分配就只能套公式。

比的意义与比值

比表示两个量之间的倍比关系，必须说清谁与谁比。例如男生 24 人、女生 16 人：

• 男生与女生人数的比是 $24:16=3:2$；
• 女生与男生人数的比是 $16:24=2:3$；
• 男生与全班人数的比是 $24:40=3:5$。

同样是 24 和 16，前后项交换，比的意义就变了，所以写比时不能颠倒顺序。

例：求 $15:10$ 的比值，并说明它表示什么。

$15:10=15÷10=\frac{3}{2}=1.5$

比值是 1.5，表示 15 是 10 的 1.5 倍。比可以写成分数形式，但读的时候仍读作「15 比 10」。

比、分数、除法的对应关系如下：

组成	比	分数	除法
前面的量	前项 $a$	分子 $a$	被除数 $a$
后面的量	后项 $b$	分母 $b$	除数 $b$
结果	比值	分数值	商

易错提醒：比的后项不能是 0，因为除数、分母不能为 0；比值是一个数，比是一个关系式，不能把两者混为一谈；体育比赛中的「2:0」只是比分，不表示两个数相除，不是数学中的比。

比的基本性质

比的基本性质与分数的基本性质、商不变的规律是一致的：前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。

例 1：化简 $15:10$。

前项和后项同时除以最大公因数 5：

$15:10=(15÷5):(10÷5)=3:2$

例 2：化简 $0.75:1.5$。

先同时乘 100，化成整数比：

$0.75:1.5=75:150=(75÷75):(150÷75)=1:2$

例 3：化简 $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$。

同时乘分母的最小公倍数 12：

$\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{3}\times 12\right):\left(\frac{1}{4}\times 12\right)=4:3$

易错提醒：基本性质是「同时乘或除以」，不是同时加或减；同时乘或除以的数不能是 0；化简到最后，前项和后项必须互质。

化简比

化简比要把比化成最简整数比，结果仍是一个比，不能写成一个小数或分数。不同类型比的化简方法如下：

• 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数；
• 分数比：同时乘两个分母的最小公倍数，化成整数比后再化简；
• 小数比：先同时乘 10、100 等，化成整数比，再化简；
• 带单位或不同单位的比：先统一单位，再化简。

例 1：化简 $2.4:1.6$。

$2.4:1.6=24:16=3:2$

例 2：化简 $\frac{1}{2}:\frac{3}{4}$。

$\frac{1}{2}:\frac{3}{4}=\left(\frac{1}{2}\times 4\right):\left(\frac{3}{4}\times 4\right)=2:3$

例 3：化简 $0.6:0.24$。

$0.6:0.24=60:24=5:2$

化简比与求比值的区别：

项目	化简比	求比值
结果	最简整数比，如 $3:2$	一个数，如 $\frac{3}{2}$ 或 1.5
方法	前后项同时乘或除以相同的数	前项除以后项
依据	比的基本性质	比与除法的关系

易错提醒：化简比的结果必须写成「前项:后项」，不能只写一个数；最后的前项和后项要互质；如果比的两项带有不同单位，先统一单位再化简。

按比分配

按比分配的问题，核心是把总量看成一个整体，按份数分开。基本步骤是：求总份数 → 求每份是多少 → 求各部分是多少。

例 1：120 本书按 $2:3$ 分给甲、乙两班，两班各分到多少本？

总份数 $2+3=5$，每份 $120÷5=24$ 本。甲班 $24\times 2=48$ 本，乙班 $24\times 3=72$ 本。检验：$48+72=120$，且 $48:72=2:3$。

例 2：混凝土中水泥、沙子、石子的质量比是 $2:3:5$，要配制 200 吨混凝土，三种材料各需多少吨？

总份数 $2+3+5=10$，每份 $200÷10=20$ 吨。水泥 $20\times 2=40$ 吨，沙子 $20\times 3=60$ 吨，石子 $20\times 5=100$ 吨。检验：$40+60+100=200$。

例 3：一个长方形的周长是 40 厘米，长与宽的比是 $3:2$。它的长、宽和面积各是多少？

周长 40 厘米对应的是两条长与两条宽的和，所以一条长与一条宽的和是 $40÷2=20$ 厘米。总份数 $3+2=5$，每份 $20÷5=4$ 厘米。长 $4\times 3=12$ 厘米，宽 $4\times 2=8$ 厘米，面积 $12\times 8=96$ 平方厘米。

易错提醒：按比分配不是平均分，份数不同分到的量也不同；长方形周长题要先除以 2；分配后要检验各部分之和是否等于总量，各部分的比是否等于原来的比。

比与分数的互化

比和分数可以互相转化，这在按比分配和后续百分数学习中经常用到。$a:b=\frac{a}{b}$，其中后项 $b$ 对应分母，前项 $a$ 对应分子。

例 1：男生与女生人数的比是 $3:2$，男生占全班人数的几分之几？女生占几分之几？

全班人数对应 $3+2=5$ 份，男生占 $\frac{3}{5}$，女生占 $\frac{2}{5}$。

例 2：一杯盐水中，盐与水的质量比是 $1:9$。盐占盐水的几分之几？水占盐水的几分之几？

盐水对应 $1+9=10$ 份，盐占 $\frac{1}{10}$，水占 $\frac{9}{10}$。

例 3：六（1）班有 40 人，男生与女生人数的比是 $3:2$。男生、女生各有多少人？

男生 $40\times \frac{3}{5}=24$ 人，女生 $40\times \frac{2}{5}=16$ 人。检验：$24:16=3:2$，$24+16=40$。

易错提醒：比的前项和后项分别对应部分量，总量对应的是份数之和；不要看到 $1:9$ 就说盐占 $\frac{1}{9}$，盐水是 10 份，不是 9 份；互化后要约分。

本章的三条主线结论

1. 比是除法的另一种写法：$a:b=a÷b=\frac{a}{b}$，前项、后项、比值与除法、分数的各部分一一对应。
2. 基本性质是化简比的依据：前后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变；化简比的结果仍是一个比。
3. 按比分配先求总份数：总量对应份数之和，再求每份或各部分占总量的几分之几，最后检验。

最易错：化简比写成比值、前后项颠倒、基本性质误用加减、按比分配总份数算错。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 化简 $12:18$，并求比值。——$12:18=2:3$，比值是 $\frac{2}{3}$。
2. 化简 $0.8:0.2$，并求比值。——$0.8:0.2=4:1$，比值是 4。
3. 化简 $\frac{3}{5}:\frac{9}{10}$。——同时乘 10，得 $6:9=2:3$。
4. 90 本书按 $4:5$ 分给两个班，各分到多少本？——总份数 9，每份 10 本，分别 40 本、50 本。
5. 长方形周长 30 厘米，长与宽的比是 $3:2$，面积是多少？——长与宽的和是 15 厘米，长 9 厘米、宽 6 厘米，面积 54 平方厘米。
6. 盐与水的比是 $1:9$，配成 100 克盐水，盐和水各多少克？——总份数 10，每份 10 克，盐 10 克、水 90 克。

第 1、2 题出错说明化简比与求比值混淆；第 3 题出错说明分数比化简方法不熟；第 4 题出错说明总份数或每份算错；第 5 题出错说明周长没有先除以 2；第 6 题出错说明把水的份数当成了盐水的总份数。

课堂提示

• 本页难点：区分化简比与求比值，理解按比分配中的总份数。
• 一句提问：$3:2$ 和 $\frac{3}{2}$ 都能表示男生和女生的关系，它们有什么不同？
• 板书/操作：准备 10 个棋子，按 $2:3$ 分给两组，让学生先数总份数、再分；把「比」「分数」「除法」三列并排写在黑板上，逐项对应填写。

学完本章之后

• 第七单元《百分数的认识与应用（一）》：比可以转化成百分数，如 $3:5=60\%$，按比分配与百分数应用相通。
• 六年级下册《比例》：比例是两个比相等的式子，化简比和比的基本性质是解比例的基础。
• 初中数学：比会推广到比例线段、相似三角形和函数关系，比例的思想一直延续。

一句口诀收尾：比是相除记关系，前项后项莫颠倒；同乘同除比值定，化简结果仍写比；按比分配先总份，分完检验比不变。