整数：自然数都是整数

数的范围是怎么一级级长起来的

整数不是「一节课学完」的概念，而是六年里一圈圈扩出来的：

每扩一次，都是同一套十进制在往高位延伸，而不是另学一种新数。这就是为什么四年级上册《万以上数的认识》被称作小学阶段整数学习的收官：到这里，「一整堆的数」怎么读、怎么写、怎么比、怎么改写，全部走通了。

而 0 的地位是这一课真正的难点。0 有两副面孔：表示没有（盘子里 0 个苹果），也表示占位（3058 的百位）。它还是自然数的起点、整数队列的第一位。教材把 0 归进自然数，就是让学生明白：「一个也没有」也是一种确定的数量，需要有一个数来表示它。

三个基本操作

一、判断一个数是不是整数

1. 看有没有小数点：$3.5$、$0.02$ 是小数，不是整数。
2. 看有没有分数线：$\frac{3}{4}$ 是分数，不是整数。
3. 在小学范围内，剩下的 0 与正整数就是整数。

这套「看写法」的三步在小学够用，但要留一句提醒：真正决定是不是整数的是数表示的量，写法只是线索。$3.5$ 不是整数，而 $3.0$ 虽然带着小数点，它表示的量仍然等于 3，是整数。

二、读与写整数

从高位读起，一级一级往下读；写数时哪一位上一个计数单位也没有就写 0 占位。末尾的 0 不读，中间的 0 连续几个只读一个「零」。

三、比较与改写

位数不同的，位数多的数大；位数相同的，从最高位比起。整万、整亿的数可以改写成用「万」「亿」作单位的数，例如 $750000=75$ 万，$300000000=3$ 亿——改写只换计数单位，数的大小不变。

典例精析

例 1（分类）在 $5$、$0$、$2.3$、$108$、$\frac{3}{4}$、$10000$ 中，哪些是整数？

整数是 $5$、$0$、$108$、$10000$。$2.3$ 带小数点，是小数；$\frac{3}{4}$ 带分数线，是分数——它们都不是整数。注意 0 要选进去，这是本题的得分点。

例 2（数位）$50505$ 里的三个 5 表示的大小一样吗？

不一样。从左起第一个 5 在万位上，表示 5 个万（即 50000）；中间的 5 在百位上，表示 5 个百（即 500）；末尾的 5 在个位上，表示 5 个一。同一个数字 5，站的位置不同，大小就相差十倍百倍——这就是位值。顺带看清两个 0：千位和十位上一个计数单位也没有，靠 0 占住位置，三个 5 才各自站对地方。

例 3（组数）3 个千、5 个十、8 个一组成的数是多少？百位上为什么写 0？

$3000+50+8=3058$。百位上一个计数单位也没有，必须写 0 占位；如果漏掉，数就变成 358，比原数小了整整 2700。0 在这里不起「表示没有」的作用，而起「把千位和十位隔开」的作用。

例 4（最大的与最小的）最大的四位数与最小的五位数分别是多少？它们相差多少？有没有最大的整数？

最大的四位数是 9999，最小的五位数是 10000，相差 $10000-9999=1$。没有最大的整数：不论说出多大的数，加 1 就得到更大的，所以整数的个数是无限的。小学阶段要说「最小的」，那是 0。

例 5 判断： （1）0 是自然数，也是整数。 （2）自然数都是整数，所以整数都是自然数。 （3）最小的整数是 0。

（1）对。现行教材规定 0 是自然数，而所有自然数都是整数。（2）错。前半句对，后半句「倒过来说」不成立：到了七年级，$-1$、$-100$ 这样的负整数也是整数，但它们不是自然数。所以自然数只是整数的一部分。（3）在四年级学过的数里对，作为一般结论错。引入负数以后，比 0 小的数还有无穷多个，整数没有最小的——这句话要等到七年级才改成正式结论。

辨析与提醒

• 「整数」不等于「能整除」：判断归类看的是数长什么样，不是能不能被某个数除尽。$12÷5$ 有余数，12 照样是整数。
• 数位与计数单位要分清：「万位」是位置，「万」是计数单位；问「十万是什么」，答的是计数单位，不是数位。
• 0 不是「没有数」：0 本身是一个数，可以参加运算，也占一个数位。
• 改写与求近似数不是一回事：$750000=75$ 万是改写（大小不变，用等号）；把 750328 说成「约 75 万」是求近似数（要用 $\approx$）。这是本单元最容易混的两个符号。
• 别提前用初中的结论：小学阶段不要写「整数包括正整数、负整数和零」当作小学答案；这句话的正确位置在七年级，见下一段。

跨学段衔接

本页的小学结论到六年级下册《负数》第一次被打破：零下 $3$ 摄氏度、负债 $50$ 元，都需要在 0 的左边数数，于是出现了带负号的数。

到七年级上册第一章《有理数》，整数才得到正式定义（以下属初中内容，本页不作小学要求）：正整数、0 和负整数统称为整数，整数没有最大值也没有最小值；全体整数记作 $\mathbb{Z}$，自然数就是「非负整数」，即 $\mathbb{Z}$ 中不小于 0 的那一部分。整数与分数合在一起叫有理数，并第一次和数轴上的点对应起来：整数对应数轴上每隔一格的点，$-1$ 就在 0 左边第一格。

再往后，七年级下册《实数》把无理数并进来，数系扩到实数；高中则用 $\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$ 这套字母把这几次扩充一次性写清。回头看，四年级那句「自然数都是整数」就是这条长链的第一块牌子。

给家长的讲法

拿一把豆子或一堆积木最好用：让孩子数，数完问「盘子里没有了，用哪个数表示？」他若答 0，本页最难的一半就通了。再追问一句「0 是自然数吗」——答案是「是」，很多家长按自己上学时的老规矩会说不算，这一处要当面对齐。

第二个动作是写数：口述「三千零五十八」，让孩子在方格里写 3058，写完检查百位那个 0 在不在。他漏 0 的时候不要直接说错，而是把 358 与三千多比一比：「358 才三百多，我们说的是三千多呀。」占位的意义当场就显出来了。

第三步可以聊聊电梯楼层：地下车库是「B1」「负一」，但请先说明「那是七年级才正式学的数」，不要现在就把负整数塞进「整数」的结论里。孩子若问「负一是不是整数」，正确的回答是：「是整数，不过那是七年级的内容，你们现在学的整数是从 0 开始往大数的。」

课堂提示

• 本页难点：0 的双重身份（表示没有、表示占位）与「自然数都是整数」这句话的范围边界。
• 一句提问：$3.5$、$\frac{3}{4}$、$0$ 里，为什么只有 0 是整数？（既不带小数点也不带分数线，且表示一整堆）
• 板书/操作：把数位顺序表贴在黑板右侧不动，左侧依次写 $20$、$205$、$2050$、二万零五百，让学生指认每个 0 所在的数位并说明它起什么作用。
• 易错题型：分类题（在一堆数里挑整数，0 常漏）；组数题（漏 0 占位）；判断「0 不是自然数」；把改写与求近似数的等号、约等号用混；判断「整数都是自然数」。
• 进度提醒：本课只把 0 与正整数说透，负整数一律留到七年级《有理数》，不要在小学课堂上把两个学段的结论混着给。