北师大版六年级上册第四单元《分数的应用》教材同步学习指南

定义

求一个数的几分之几：已知单位「1」的量，求它的几分之几是多少，用乘法。数量关系是「单位「1」的量 × 分率 = 对应量」。

已知一个数的几分之几是多少，求这个数：已知对应量和它对应的分率，求单位「1」的量，用除法或方程。数量关系是「对应量 ÷ 对应分率 = 单位「1」的量」。

单位「1」：被平均分、作为比较标准的那个量。关键句中的「的」前、「比」后、「占」后，通常就是单位「1」。

量率对应：具体数量与它对应的分率必须匹配。比如「看了 60 页」对应的是「全书的 $\frac{2}{5}$」，不能用 60 去除以「剩下的 $\frac{3}{5}$」。

连续求一个数的几分之几：第一步的单位「1」算完后，第二步可能换了一个单位「1」，要连乘并看清每一步相对于谁。

比一个数多（少）几分之几：单位「1」的量 ×（$1\pm$ 分率）。多几分之几用加，少几分之几用减。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
求一个数的几分之几	找准单位「1」，用乘法	会算 $120\times \frac{3}{4}$
连续求几分之几	看清每一步的单位「1」	会算 $240\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}$
已知部分求整体	量率对应，用除法或方程	会算 $60÷\frac{2}{5}$
比多比少问题	确定（$1\pm$ 分率）	会算 $200\times (1+\frac{1}{10})$
用方程解决	设单位「1」为 $x$	会列方程并检验

学习时要始终问自己两个问题：谁是单位「1」？谁和谁对应？ 这两个问题答对了，乘除的选择就基本不会错。

求一个数的几分之几是多少

已知单位「1」，求它的几分之几，直接用乘法。题目中的「占」「是」「相当于」「比……多」等说法，只要单位「1」已知，都可以转化为乘法。

例 1：六（1）班有 40 人，男生占 $\frac{3}{5}$，男生有多少人？

单位「1」是全班人数 40 人，分率是 $\frac{3}{5}$。

$40\times \frac{3}{5}=24\text{（人）}$

男生有 24 人，女生有 $40-24=16$ 人。

例 2：一本书共 180 页，第一天看了全书的 $\frac{2}{9}$，第二天看了全书的 $\frac{1}{3}$。两天各看了多少页？还剩多少页？

第一天：$180\times \frac{2}{9}=40$ 页；第二天：$180\times \frac{1}{3}=60$ 页；两天共看 100 页，还剩 $180-100=80$ 页。

易错提醒：分率和具体数量不能直接相加减，必须先乘出具体数量；两天看的都是「全书的」几分之几，单位「1」都是 180 页；如果题目说「第二天看了余下的 $\frac{1}{3}$」，单位「1」就变成了余下的页数。

连续求一个数的几分之几

连续求几分之几，第一步算完后，第二步的单位「1」可能变成第一步的结果，因此要一步一步算，不能把两个分率随便相加。

例：果园里有 240 棵苹果树，梨树的棵数是苹果树的 $\frac{3}{4}$，桃树的棵数是梨树的 $\frac{2}{3}$。梨树和桃树各有多少棵？

第一步，单位「1」是苹果树 240 棵：

$240\times \frac{3}{4}=180\text{（棵）}$

第二步，单位「1」变成梨树 180 棵：

$180\times \frac{2}{3}=120\text{（棵）}$

也可以列连乘式：$240\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=120$ 棵。梨树 180 棵，桃树 120 棵。

易错提醒：第二步的分率 $\frac{2}{3}$ 是相对于梨树说的，不是相对于苹果树；连乘时可以先约分再计算；算完要检查每一步的单位「1」是否换了。

已知一个数的几分之几是多少，求这个数

已知部分量和它对应的分率，求整体，用除法：对应量 ÷ 对应分率 = 单位「1」。也可以设单位「1」为 $x$，列方程求解。

例 1：小明看了一本书的 $\frac{2}{5}$，正好看了 60 页。这本书共有多少页？

设全书有 $x$ 页，则 $\frac{2}{5}x=60$，解得 $x=60÷\frac{2}{5}=150$ 页。算术方法：$60÷\frac{2}{5}=60\times \frac{5}{2}=150$ 页。

例 2：一批水泥用去 $\frac{3}{8}$，还剩 50 吨。这批水泥原有多少吨？

设原有 $x$ 吨，用去 $\frac{3}{8}x$，还剩 $\left(1-\frac{3}{8}\right)x=\frac{5}{8}x$。

$\frac{5}{8}x=50$

$x=50÷\frac{5}{8}=80$

原有 80 吨。检验：用去 $80\times \frac{3}{8}=30$ 吨，剩下 $80-30=50$ 吨。

易错提醒：60 页对应的是 $\frac{2}{5}$，所以要除以 $\frac{2}{5}$，不能乘 $\frac{2}{5}$；剩下的 50 吨对应的是 $\frac{5}{8}$，不是 $\frac{3}{8}$；先写清「谁对应谁」，再列式。

比一个数多（少）几分之几

「比一个数多几分之几」表示在单位「1」的基础上增加它的几分之几，现量是单位「1」的 $1+$ 分率倍；「少几分之几」则是 $1-$ 分率倍。

例 1：去年学校有 200 人参加社团，今年比去年多 $\frac{1}{10}$。今年有多少人参加？

单位「1」是去年的 200 人，今年是去年的 $1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}$。

$200\times \left(1+\frac{1}{10}\right)=200\times \frac{11}{10}=220\text{（人）}$

例 2：一件衣服原价 80 元，现在降价 $\frac{1}{5}$，现价是多少元？

$80\times \left(1-\frac{1}{5}\right)=80\times \frac{4}{5}=64\text{（元）}$

例 3：今年有 220 人参加，比去年多 $\frac{1}{10}$，去年有多少人？

设去年有 $x$ 人，则 $\left(1+\frac{1}{10}\right)x=220$，$\frac{11}{10}x=220$，$x=200$ 人。

易错提醒：「多 $\frac{1}{10}$」不是「是 $\frac{1}{10}$」，不能直接乘 $\frac{1}{10}$；增加或减少的分率是相对于单位「1」说的；已知现量求原量时，要除以（$1\pm$ 分率），不能直接减。

用方程统一两类问题

两类应用题都可以用方程统一处理：设单位「1」为 $x$，根据「部分量 = 单位「1」× 分率」或「部分量 = 单位「1」×（$1\pm$ 分率）」列方程。

例 1：六（1）班男生有 24 人，占全班的 $\frac{3}{5}$。全班有多少人？

设全班有 $x$ 人，$\frac{3}{5}x=24$，$x=24÷\frac{3}{5}=40$ 人。

例 2：一本书，小明看了 $\frac{2}{5}$，还剩 90 页。这本书共有多少页？

设全书有 $x$ 页，剩下 $\left(1-\frac{2}{5}\right)x=90$，$\frac{3}{5}x=90$，$x=150$ 页。

两类问题的对比如下：

类型	已知条件	要求	数量关系	算法
求一个数的几分之几	单位「1」、分率	部分量	单位「1」× 分率 = 部分量	乘法
已知部分求整体	部分量、对应分率	单位「1」	部分量 ÷ 对应分率 = 单位「1」	除法或方程

易错提醒：设未知数时要写清它是谁，如「设全书有 $x$ 页」；方程的解要代回原题检验；单位名称要跟着具体量写，不能只写数字。

本章的三条主线结论

1. 先找单位「1」：分率相对于谁，谁就是单位「1」；单位「1」已知用乘法，未知用除法或方程。
2. 量率必须对应：具体数量要除以它自己的分率，不能张冠李戴；剩余问题先算剩余分率。
3. 画线段图最稳：把单位「1」画成整条线段，标出已知量和分率，乘除关系一目了然。

最易错：单位「1」找错、乘除弄反、量率不对应、把「多几分之几」当成「是几分之几」。

自测

先自己分析，再看答案：

1. 80 的 $\frac{3}{4}$ 是多少？——$80\times \frac{3}{4}=60$。
2. 120 的 $\frac{2}{3}$ 的 $\frac{1}{4}$ 是多少？——$120\times \frac{2}{3}=80$，$80\times \frac{1}{4}=20$。
3. 一个数的 $\frac{3}{5}$ 是 45，这个数是多少？——$45÷\frac{3}{5}=75$。
4. 一批货物用去 $\frac{2}{7}$，还剩 40 千克，原有多少千克？——剩下 $\frac{5}{7}$，$40÷\frac{5}{7}=56$ 千克。
5. 去年生产 150 台，今年比去年多 $\frac{1}{5}$，今年生产多少台？——$150\times (1+\frac{1}{5})=180$ 台。
6. 今年生产 180 台，比去年多 $\frac{1}{5}$，去年生产多少台？——设去年 $x$ 台，$\frac{6}{5}x=180$，$x=150$ 台。

第 1 题出错说明乘法应用不熟；第 2 题出错说明连续分率的单位「1」没看清；第 3 题出错说明已知部分求整体用错运算；第 4 题出错说明剩余分率算错；第 5、6 题出错说明「多几分之几」的 $1+$ 分率没有掌握。

课堂提示

• 本页难点：找准单位「1」，分清乘法与除法两类问题。
• 一句提问：同样是一个数和它的 $\frac{2}{5}$，为什么有时用乘法，有时用除法？
• 板书/操作：用一条线段表示单位「1」，先标出 $\frac{2}{5}$ 和对应的 60 页，再让学生把「已知整体求部分」和「已知部分求整体」两种箭头画在同一幅图上，对比乘除方向。

学完本章之后

• 第五单元《比的认识》：比与分数可以互化，按比分配本质上也是求一个数的几分之几。
• 第七单元《百分数的认识与应用（一）》：把分率换成分母是 100 的百分数，数量关系完全一致。
• 六年级下册《比例》：比例应用题同样要找对应关系，本章的量率对应是重要基础。

一句口诀收尾：单位「1」先找准，已知整体用乘法；已知部分求整体，除以分率或列方程；量率对应不张冠，线段图上一目清。