北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》教材同步学习指南

学习顺序

顺序不能颠倒：定义不清就判断不了方程类型，等式性质不熟就说不清每一步变形的依据，解法不稳就谈不上应用题。

5.1 认识方程

方程：含有未知数的等式。两个条件缺一不可——必须有未知数，必须是等式。$2x+1$ 不是方程，$3+5=8$ 也不是方程。

一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数都是 $1$，且等号两边都是整式的方程。三个关键词是“一元”“一次”“整式”。例如 $2x-3=5$、$\frac{x-1}{2}=3$ 是一元一次方程；$\frac{1}{x}=2$ 不是，因为分母含未知数。

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。检验一个数是不是方程的解，就把它代入原方程，看左右两边是否相等。

5.2 一元一次方程的解法

解方程的依据是等式的性质：

• 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），所得结果仍是等式
• 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不等于 $0$ 的数，所得结果仍是等式

解一元一次方程的一般步骤：

1. 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，每一项都要乘，不含分母的项也不能漏
2. 去括号：括号前的因数乘遍括号内每一项，注意负号
3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项必须变号
4. 合并同类项：化成 $ax=b$ 的形式
5. 系数化为 1：两边同除以 $a$（$a\ne 0$），得 $x=\frac{b}{a}$

以 $\frac{x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=1$ 为例：去分母得 $3(x+1)-2(x-1)=6$，去括号得 $3x+3-2x+2=6$，合并得 $x+5=6$，所以 $x=1$。

步骤是通用的，但不必机械套用。分母简单时可以先去括号，括号简单时可以直接移项；关键是每一步都有等式性质作依据。

5.3 一元一次方程的应用

列方程解应用题的一般流程是“审、设、列、解、答”：

1. 审：读题，找出已知量、未知量和相等关系
2. 设：设未知数，通常设所求量为 $x$，必要时设中间量
3. 列：用含 $x$ 的代数式表示相关量，按相等关系列出方程
4. 解：解方程，检验是否符合实际意义
5. 答：写清单位，回到原题作答

常见模型：

• 行程问题：路程 $=$ 速度 $\times$ 时间；相遇看路程和，追及看路程差
• 工程问题：把总工作量看作 $1$，工作量 $=$ 工作效率 $\times$ 工作时间
• 销售问题：利润 $=$ 售价 $-$ 进价，利润率 $=\frac{利润}{进价}\times 100\%$
• 配套问题：按配套比例列等式，注意“一套需要几个”
• 方案选择：分别用含 $x$ 的式子表示两种方案的费用，再比较或令其相等

列方程的核心不是背题型，而是找到一句能表示“两个量相等”的话。找到相等关系，方程就成功了一半。

本章的三条主线结论

1. 方程是含未知数的等式：一元、一次、整式三个条件同时满足才叫一元一次方程
2. 解方程只靠等式性质：去分母、去括号、移项、合并、系数化为 1，每一步都是两边同时做同一件事
3. 应用题的关键是相等关系：先审后设，用代数式表示各量，再按相等关系列方程

最容易被考的是解方程的基本步骤，最容易丢分的是去分母漏乘和移项不变号。

自测

先自己判断，再看答案：

1. $3x-2=7$ 是一元一次方程吗？——是，只含一个未知数且次数为 $1$
2. $x^2+1=5$ 是一元一次方程吗？——不是，未知数最高次数是 $2$
3. 方程 $2x-5=3$ 的解是多少？——移项得 $2x=8$，所以 $x=4$
4. 解方程 $\frac{x}{2}+1=3$，第一步去分母应得到什么？——$x+2=6$，常数项 $1$ 也要乘 $2$
5. 某数的 $3$ 倍比它大 $8$，设这个数为 $x$，方程是什么？——$3x-x=8$
6. 解方程 $5(x-1)=2x+7$。——去括号得 $5x-5=2x+7$，移项合并得 $3x=12$，所以 $x=4$

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 4、6 题出错，说明去分母与去括号还需逐项重练。

学完本章之后

方程是初中代数的核心工具：

• 七年级下册第一章《整式的乘除》：解方程中的整式运算继续升级，为后续方程变形打基础
• 八年级上册《二元一次方程组》：从“一元”扩展到“二元”，消元思想登场
• 八年级下册《一元一次不等式与一元一次不等式组》：把等号换成不等号，等式性质变成不等式性质
• 九年级上册《一元二次方程》：次数升到 $2$，因式分解与求根公式接棒

把“等式性质—解方程—列方程”这条链条走通，后面所有方程与不等式都有了共同的起点。