北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：线段、射线、直线 → 线段的中点 → 角 → 角的比较与运算 → 余角与补角 → 多边形 → 圆。

第一章从整体上观察立体图形和平面图形，本章则把平面图形拆成最基本的元素：点和线。线段、射线、直线是“线的三种形态”，角由两条有公共端点的射线组成，多边形由若干条线段首尾顺次相接围成，圆则由一条曲线围成。

本章的难点不在概念本身，而在几何语言：会用符号表示图形，会把“中点”“角平分线”“余角”翻译成等式，并写清每一步的依据。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 线段、射线、直线	区分三种线，比较线段长短，认识中点	线段的和差与中点等式
4.2 角	角的表示、度分秒、角的比较与角平分线	角的和差与度分秒换算
4.3 多边形和圆的初步认识	认识多边形、对角线、圆与扇形	多边形与圆的基本元素

顺序上先“线”后“角”，再用线段和角组成多边形与圆。线段中点是角平分线的类比原型：两者都是“把整体平均分成两份”。

4.1 线段、射线、直线

直线向两方无限延伸，没有端点；射线向一方无限延伸，有一个端点；线段有两个端点，长度有限。射线和线段都是直线的一部分。

表示方法要规范：直线 $AB$ 或直线 $l$，射线 $AB$（端点 $A$ 写在前面），线段 $AB$ 或线段 $a$。射线 $AB$ 与射线 $BA$ 不是同一条射线。

基本事实：

• 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线
• 两点之间线段最短：连接两点的所有连线中，线段最短
• 两点之间线段的长度，叫这两点间的距离

比较线段的长短有两种方法：度量法（用刻度尺量）和叠合法（把一条线段移到另一条上重合比较）。

线段的中点：点 $M$ 在线段 $AB$ 上，且把线段 $AB$ 分成两条相等的线段，则 $M$ 叫线段 $AB$ 的中点。几何语言： $AM=MB=\frac{1}{2}AB,AB=2AM=2MB.$

线段的和差与中点问题常需要分类讨论：点 $C$ 在直线 $AB$ 上，可能在 $A,B$ 之间，也可能在 $AB$ 的延长线上，两种情况的中点位置不同。

4.2 角

角由两条有公共端点的射线组成，公共端点是角的顶点，两条射线是角的两边。角也可以看成一条射线绕它的端点旋转形成的图形。

角的表示有四种常见方式：$\angle AOB$、$\angle O$、$\angle 1$、$\angle \alpha$。用三个字母表示时，顶点字母必须写在中间；当顶点处只有一个角时，才能简写成 $\angle O$。

度分秒：把一个周角分成 $360$ 等份，每一份是 $1$ 度，记作 $1^{\circ }$；$1^{\circ }=60^{\prime }$，$1^{\prime }=60^{\prime \prime }$。换算按六十进制，例如 $1.5^{\circ }=1^{\circ }30^{\prime }=90^{\prime },45^{\prime }=0.75^{\circ }.$

比较角的大小同样有度量法和叠合法。角平分线：从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线。若 $OC$ 平分 $\angle AOB$，则 $\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB.$

余角与补角：

• 两个角的和等于 $90^{\circ }$，这两个角互为余角
• 两个角的和等于 $180^{\circ }$，这两个角互为补角
• 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等

余角和补角只与角度大小有关，与两个角的位置无关。

4.3 多边形和圆的初步认识

多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。组成多边形的各条线段叫多边形的边，相邻两边的公共端点叫顶点。

连接多边形不相邻两个顶点的线段叫对角线。从 $n$ 边形的一个顶点出发，可以引 $n-3$ 条对角线；$n$ 边形一共有 $\frac{n(n-3)}{2}$ 条对角线。各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形。

圆：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形。定点叫圆心，定长叫半径。连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，经过圆心且两端都在圆上的线段叫直径，直径等于半径的 $2$ 倍。

圆上任意两点间的部分叫弧；连接圆上任意两点的线段叫弦；由一条弧和经过这条弧端点的两条半径组成的图形叫扇形；顶点在圆心的角叫圆心角。

本章的三条主线结论

1. 三种线的区别看端点：直线无端点，射线一个，线段两个
2. 中点与角平分线都是“平均分”：一个分线段，一个分角，几何语言都是“一半”
3. 余角补角只看和：和为 $90^{\circ }$ 互余，和为 $180^{\circ }$ 互补，与位置无关

最容易错的是度分秒换算和线段中点的分类讨论；最容易忽略的是几何语言的书写规范。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 射线 $AB$ 与射线 $BA$ 是同一条射线吗？——不是，端点不同，方向也不同
2. $1.2^{\circ }$ 等于多少分？——$1.2\times 60=72^{\prime }$
3. 若 $M$ 是 $AB$ 的中点，$AB=10$，则 $AM$ 是多少？——$5$
4. 一个角的补角是它的 $3$ 倍，这个角是多少度？——设角为 $x$，$x+3x=180$，$x=45^{\circ }$
5. 六边形从一个顶点出发有几条对角线？——$6-3=3$ 条
6. 圆中最长的弦是什么？——直径

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 1、2 题出错，说明三种线的区别与度分秒换算还需重过。

学完本章之后

本章是初中几何的入门：

• 七年级下册第二章《相交线与平行线》：两条直线相交成角，进一步研究对顶角、邻补角与平行线
• 七年级下册第四章《三角形》：三角形是最简单的多边形，本章的线段与角是三角形的基本元素
• 七年级下册第五章《图形的轴对称》：线段垂直平分线、角平分线与等腰三角形，都会回到本章的中点与角平分线
• 八年级上册《平行线的证明》：几何证明正式展开，本章的几何语言是写证明的第一步

把图形名称、符号表示和几何语言三件事同时练熟，后面的几何学习才有稳固的起点。