浙教版七年级上册第5章《一元一次方程》教材同步学习指南

定义

含有未知数的等式叫方程。只含一个未知数，未知数的次数都是 1，且等号两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程，一般形式为 $ax+b=0(a\ne 0).$

使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
5.1 认识方程	辨认方程，检验方程的解	会判断一个数是不是方程的解
5.2 等式的基本性质	用等式性质变形	会两边同加、同乘，避开除以 0
5.3 一元一次方程	按三个条件辨认	会判断并写出一般形式
5.4 一元一次方程的解法	按五步解方程	去分母、去括号、移项不出错
5.5 一元一次方程的应用	找等量关系建模	会列方程解决行程、销售等问题

5.1 认识方程

方程必须同时满足两个条件：是等式，含有未知数。

例：$3x-1=5$ 是方程；$3x-1$ 是代数式，不是方程；$3+4=7$ 是等式但不含未知数，不是方程；$2x+y=1$ 含未知数且是等式，是方程。

检验一个数是不是方程的解，要把它分别代入方程的左右两边，看两边是否相等。例如检验 $x=2$ 是不是 $2x+1=5$ 的解：左边 $=2\times 2+1=5$，右边 $=5$，左边等于右边，所以 $x=2$ 是解；而 $x=1$ 时左边 $=3\ne 5$，所以 $x=1$ 不是解。

例：某数的 3 倍减 2 等于 7，设这个数为 $x$，列方程得 $3x-2=7$。

提醒：方程一定有等号，代数式没有等号；检验时要分别计算左右两边，不能只算一边就下结论。

5.2 等式的基本性质

等式的基本性质：

1. 等式两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等，即若 $a=b$，则 $a\pm c=b\pm c$；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等，即若 $a=b$，则 $ac=bc$；若 $a=b$ 且 $c\ne 0$，则 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。

例：由 $2x-3=5$，两边都加 3，得 $2x=8$；两边都除以 2，得 $x=4$。

例：由 $\frac{x}{2}=3$，两边都乘 2，得 $x=6$。

提醒：两边必须做同一种运算，加、减、乘、除的对象要完全相同；除数不能为 0，也不要两边同时除以一个含未知数、可能为 0 的式子。

5.3 一元一次方程

一元一次方程有三个条件：只含一个未知数；未知数的次数都是 1；等号两边都是整式。

例：$3x+2=0$ 是一元一次方程；$x^2=1$ 未知数次数是 2，不是；$2x+3y=1$ 含两个未知数，不是；$\frac{1}{x}+1=0$ 分母含未知数，不是整式方程；$3x+2$ 没有等号，不是方程。

例：若关于 $x$ 的方程 $(m-2)x+3=0$ 是一元一次方程，则 $m-2\ne 0$，所以 $m\ne 2$。

提醒：判断时要三个条件一起看，尤其不要漏掉“两边都是整式”；未知数的次数看含未知数项的最高次数。

5.4 一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。

例：解方程 $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{2}=1.$ 去分母，两边都乘 6： $2(2x-1)-3(x+2)=6.$ 去括号： $4x-2-3x-6=6.$ 合并同类项： $x-8=6.$ 移项，得 $x=14$。

检验：左边 $=\frac{2\times 14-1}{3}-\frac{14+2}{2}=9-8=1$，等于右边，所以 $x=14$ 是原方程的解。

提醒：去分母时右边的 1 也要乘，不能漏；分子是多项式时，去分母后要加括号；移项要变号，系数化为 1 时两边都除以未知数的系数。

5.5 一元一次方程的应用

列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知数、找等量关系列方程、解方程、检验、作答。

例：甲、乙两地相距 240 千米，两车同时从两地相向而行，速度分别为 50 千米/时和 70 千米/时，几小时后相遇？设 $t$ 小时后相遇，等量关系是“两车路程之和等于全程”： $(50+70)t=240,$ 解得 $t=2$。所以 2 小时后相遇。

例：某商品标价 300 元，按八折出售，若利润率是 20%，求进价。设进价为 $x$ 元，售价为 $300\times 0.8=240$ 元，等量关系是“售价减进价等于进价的 20%”： $240-x=0.2x,$ 解得 $x=200$。检验：$(240-200)÷200=20\%$，符合题意。

提醒：设未知数要带单位，列方程时各量的单位要统一；“打八折”表示按标价的 80% 出售，不是降价 80%；求出解后要检查是否符合实际意义。

本章的三条主线结论

1. 方程是含未知数的等式：一元一次方程要同时满足一个未知数、次数为 1、两边都是整式
2. 等式性质是解法依据：移项、去分母都是在两边做同一种运算，移项必须变号
3. 应用题先找等量关系：设元、列方程、解方程、检验，四步缺一不可

自测

先自己完成，再看答案：

1. $3x-1$ 是方程吗？——不是，它是代数式；$3x-1=0$ 才是方程
2. 若 $x=2$ 是方程 $3x-a=4$ 的解，求 $a$。——$6-a=4$，所以 $a=2$
3. 解方程 $5x-3=2x+6$。——$3x=9$，$x=3$
4. 解方程 $\frac{x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=1$。——去分母得 $3(x+1)-2(x-1)=6$，解得 $x=1$
5. 长方形周长是 30 厘米，长比宽多 3 厘米，求宽。——设宽为 $x$ 厘米，$2(x+x+3)=30$，解得 $x=6$ 厘米
6. 一件商品标价 300 元，打八折出售，进价 200 元，利润率是多少？——售价 240 元，利润率 $\frac{240-200}{200}=20\%$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 4 题出错，说明去分母漏乘或漏加括号；第 5 题出错，说明等量关系还没找准。

学完本章之后

本章把“算数”推进到“列方程解决问题”：

• 第6章《图形的初步知识》：余角、补角、线段和差都可以列方程求解；
• 八年级《二元一次方程组》与《不等式》：方程思想从一元走向多元，从相等走向不等；
• 高中《函数与方程》：方程的根就是函数图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

把“找等量关系—列方程—检验”练成习惯，方程就不只是计算题，而是解决问题的工具。