苏科版七年级上册第4章《一元一次方程》教材同步学习指南

定义

本章第一次系统研究“未知数满足的等式”。主线是：认识等式与方程 → 用等式性质解一元一次方程 → 用方程解决实际问题。

含有未知数的等式叫方程。只含一个未知数，并且未知数的次数是 1，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程，一般形式为

$ax+b=0(a\ne 0).$

使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 等式与方程	辨认方程，理解等式性质	会用等式性质变形
4.2 一元一次方程及其解法	去分母、去括号、移项、合并、系数化 1	熟练求解一元一次方程
4.3 用一元一次方程解决问题	设未知数、找等量关系、列方程	完整建模并检验

4.1 等式与方程

等式的基本性质：

1. 等式两边同时加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是等式；
2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式。

利用这两条性质，可以把方程逐步变形为 $x=a$ 的形式。

4.2 一元一次方程及其解法

解一元一次方程的一般步骤：

步骤	做法	注意
去分母	两边同乘各分母的最小公倍数	不含分母的项也要乘
去括号	按去括号法则展开	括号前是负号，各项都变号
移项	含未知数的项移到一边，常数项移到另一边	移项必须变号
合并同类项	化成 $ax=b$	系数相加，字母不变
系数化为 1	两边同除以 $a$	$a\ne 0$，注意符号

例：解方程

$\frac{x-1}{2}-\frac{2x+1}{3}=1.$

去分母，两边同乘 6：

$3(x-1)-2(2x+1)=6.$

去括号：

$3x-3-4x-2=6.$

合并：

$-x-5=6.$

移项：

$-x=11,$

所以 $x=-11$。

4.3 用一元一次方程解决问题

列方程解应用题的一般流程：

1. 审题：找出已知量、未知量和数量关系；
2. 设元：设未知数，注明单位；
3. 找等量关系：用文字写出关键相等关系；
4. 列方程：把等量关系翻译成含未知数的等式；
5. 解方程：按步骤求解；
6. 检验作答：检验数学解和实际意义。

常见模型：

• 行程问题：路程 $=$ 速度 $\times$ 时间；
• 工程问题：工作总量 $=$ 工作效率 $\times$ 工作时间，常把总量设为 1；
• 销售问题：利润 $=$ 售价 $-$ 进价，利润率 $=$ 利润 $÷$ 进价；
• 配套问题：先找“配套比例”，再列等式。

例：甲、乙两地相距 240 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，前 2 小时按每小时 60 千米行驶，剩下的路程要在 2 小时内走完，剩下路程的速度应为多少？

设剩下路程的速度为 $x$ 千米/时。前 2 小时行驶 $60\times 2=120$ 千米，剩下 $240-120=120$ 千米。由“剩下路程 $=$ 速度 $\times$ 时间”得

$2x=120,$

解得 $x=60$。所以剩下路程的速度应为 60 千米/时。

本章的三条主线结论

1. 方程是“未知数满足的等式”：先找等量关系，再列方程
2. 解方程靠等式性质：每一步变形都要保持两边相等
3. 解完必须检验：既要检验方程，也要检验实际意义

自测

先自己完成，再看答案：

1. 下列各式中哪些是方程？$3x+1$、$2x=6$、$x>1$、$3+2=5$。——只有 $2x=6$ 是方程
2. 解方程 $5x-3=2x+9$。——$x=4$
3. 解方程 $\frac{x+1}{2}=3$。——$x=5$
4. 解方程 $2(x-3)=3x+4$。——$x=-10$
5. 某数的 3 倍减去 4 等于 11，求这个数。——设这个数为 $x$，$3x-4=11$，$x=5$
6. 一件商品进价 80 元，按标价的八折出售仍获利 20 元，标价是多少？——设标价为 $x$，$0.8x-80=20$，$x=125$ 元

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3 题出错，重点检查去分母是否漏乘。

学完本章之后

本章是方程体系的起点：

• 七年级下册《二元一次方程组》：从一元走向二元，消元是核心；
• 七年级下册《一元一次不等式》：把等号换成不等号，解法步骤高度相似；
• 八年级《一次函数》：方程的解对应函数图象与 $x$ 轴的交点。

把“审题—设元—找等量关系—列方程—检验”练成固定流程，应用题就不会只靠猜。