北师大版三年级下册第六单元《关系与规律》教材同步学习指南

定义

本单元的学习主线：不计算比较算式 → 探索规律 → 周期问题。

不计算比较：根据运算中的变化关系直接判断两个算式的大小，不必先算出结果。

探索规律：观察一组数或一组算式中相邻数据的关系，找到同一条关系，再往后推。

周期问题：一组事物按固定顺序重复出现，重复的一组叫一个周期。用除法求出有几个完整周期，再看余数定位。

一句话概括：看关系判断大小，找周期用余数定位。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
不计算比较加减算式	看相同部分，比较变化部分	会判断和与差的大小
不计算比较乘除算式	看因数、被除数与除数的变化	记住除法「除数大商反而小」
探索乘法规律	一个因数变化引起积变化	会由已知积推出新积
探索数列规律	找差、找倍数、找分组	会补出后面的数
周期问题	找周期、列除法、看余数	会确定第几个是什么
综合应用	日历、彩灯、排队	能解决简单实际问题

顺序上先学比较，再学找规律，最后用规律解决周期问题。比较和找规律都在训练「不看结果，先看关系」的眼光。

不计算比较加减算式

加法和减法有这样的关系：

• 一个加数相同，另一个加数越大，和就越大；
• 被减数相同，减数越大，差反而越小；
• 减数相同，被减数越大，差就越大。

例 1 不计算，比较下面两组算式的大小：$36+45$ 与 $36+54$；$80-27$ 与 $80-32$。 过程：第一组两个算式的第一个加数都是 36，第二个加数 $54>45$，所以 $36+45<36+54$。第二组被减数都是 80，减数 $32>27$，减数越大差越小，所以 $80-27>80-32$。 答案：$36+45<36+54$；$80-27>80-32$。

易错提醒：减法中减数越大，剩下的越少，差反而越小；不要套用加法的「越大越大」。

不计算比较乘除算式

乘法和除法有这样的关系：

• 一个因数相同（不为 0），另一个因数越大，积就越大；
• 被除数相同（不为 0），除数越大，商反而越小；
• 交换两个因数的位置，积不变。

例 2 不计算，比较：$48\times 6$ 与 $48\times 7$；$84÷7$ 与 $84÷6$；$25\times 4\times 3$ 与 $25\times 12$。 过程：$48\times 6$ 与 $48\times 7$ 有一个因数相同，$7>6$，所以前者小；$84÷7$ 与 $84÷6$ 被除数相同，$7>6$，除数越大商越小，所以前者小；$25\times 4\times 3$ 中 $4\times 3=12$，与 $25\times 12$ 相等。 答案：$48\times 6<48\times 7$；$84÷7<84÷6$；$25\times 4\times 3=25\times 12$。

易错提醒：除法与乘法的规律方向相反，被除数相同时，除数越大商越小，不能想当然地认为「数大结果就大」。

探索规律

探索规律要先观察，再用同一关系验证，最后往后推。常见的有两类：

• 倍数关系：$3,6,12,24,48$，每个数都是前一个数的 2 倍；
• 差的关系：$1,4,9,16,25$，相邻两数依次相差 3、5、7、9。

乘法中，一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。例如 $15\times 4=60$，$15\times 8=120$，$15\times 12=180$。

例 3 找规律填数：$3,6,12,24$，（ ），（ ）。 过程：$6=3\times 2$，$12=6\times 2$，$24=12\times 2$，规律是每个数乘 2；$24\times 2=48$，$48\times 2=96$。 答案：48，96。

易错提醒：只看相邻两数的差（3、6、12 的差是 3、6）容易误判；要同时看倍数关系，并用前三组数据验证。

周期问题

周期问题的解题步骤：

1. 找出几个事物为一组，也就是周期是几；
2. 用总数除以周期，算出有几个完整周期；
3. 看余数：余 1 是每组第 1 个，余 2 是第 2 个……余 0 是每组的最后一个。

例 4 彩灯按红、黄、蓝、绿四盏一组的顺序重复排列，第 30 盏是什么颜色？ 过程：周期是 4，$30÷4=7$ 余 2，说明前面有 7 个完整周期，第 30 盏是第 8 组的第 2 盏。 答案：第 30 盏是黄色。

例 5 今天是星期三，再过 30 天是星期几？ 过程：星期以 7 天为一个周期，$30÷7=4$ 余 2；从星期三往后数 2 天，星期四是第 1 天，星期五是第 2 天。 答案：星期五。

易错提醒：余数是 0 时，说明正好排完整组，应取每组的最后一个，不能当成没有或第 0 个。

用规律解决实际问题

周期问题常藏在日历、排队、摆花、报数等情境里。先判断「几个一循环」，再确定从哪一个开始数。

例 6 同学们按「1、2、3、4」循环报数，第 26 个同学报几？ 过程：周期是 4，$26÷4=6$ 余 2，第 26 个是第 7 组的第 2 个。 答案：报 2。

易错提醒：周期题先写清「第 1 个是谁」，再算余数；起点弄错，余数再对也会答错。

日期中的周期

日期问题也属于周期问题，但要注意「经过的天数」怎样算：从某日到某日，用末日减首日，首日不算在内。

例 7 6 月 1 日是星期六，6 月 30 日是星期几？ 过程：从 6 月 1 日到 6 月 30 日经过了 $30-1=29$ 天；$29÷7=4$ 余 1；从星期六往后数 1 天是星期日。 答案：6 月 30 日是星期日。

易错提醒：把 6 月 1 日也数进去会多算 1 天，得到星期一；经过的天数要用末日减首日。

本章的三条主线结论

1. 比较看关系：相同部分不用管，只比较变化的部分；除法中除数越大商反而越小。
2. 规律要验证：至少用前三组数据验证同一条关系，再往后推，避免只看一组就下结论。
3. 周期看余数：总数除以周期，余几就是第几个，余 0 就是每组的最后一个。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 不计算，比较 $57\times 8$ 与 $57\times 9$。——前者小于后者，一个因数相同，9 大于 8。
2. 不计算，比较 $96÷8$ 与 $96÷6$。——前者小于后者，被除数相同，除数大的商小。
3. 已知 $15\times 4=60$，那么 $15\times 12=$？——180，12 是 4 的 3 倍，积也是 3 倍。
4. 找规律填数：$2,6,18,54$，（ ）。——162，每个数乘 3。
5. 彩旗按红、红、黄、蓝四面一循环，第 26 面是什么颜色？——$26÷4=6$ 余 2，是红色。
6. 今天是星期五，再过 40 天是星期几？——$40÷7=5$ 余 5，从星期五往后数 5 天，是星期三。

给家长的讲法

用积木或扑克牌按「红、黄、蓝」三色循环摆一列，让孩子猜第 10 个、第 20 个是什么颜色，再一起用除法验证。也可以翻日历，让孩子找「今天是星期三，再过 20 天是星期几」。重点不是算得快，而是先说清「几个一循环」。一句话可复述：找周期，列除法，看余数，余几就是第几个。

学完本章之后

• 四年级上册《运算律》：四年级学到的加乘运算规律，会进一步解释「不计算比较」背后的道理。
• 五年级上册《倍数与因数》：倍数关系是探索规律的重要工具，周期问题也会用到最小公倍数。
• 生活应用：彩灯排列、值日轮换、日历推算，都是周期问题的实际例子。

一句口诀收尾：比较先看相同处，除法商数反着走；规律至少验三组，周期余数定位置。