周期问题模型：余数决定位置

求解策略

1. 确定周期长度 $T$：数出循环节包含几个元素
2. 做除法：$n\div T$，得到商 $q$ 和余数 $r$
3. 定位：$r=0$ 取最后一个，$r>0$ 取第 $r$ 个
4. 变式识别：问「共有几个某颜色」时，$q$ 个完整周期各含若干个，再加上余数中的若干个；起点偏移时调整编号

模型结构

红蓝绿红蓝绿……颜色不断重复，第 100 个是什么？不用一个一个数，除法一除就知道它在循环中的位置。

要素	内容
场景	图形排列、星期推算、生肖循环、彩灯闪烁
不变量	周期顺序与周期长度 $T$
等量关系	项号 = 周期长度 × 完整周期数 + 余数

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
红、蓝、绿循环	周期长度 $T=3$，顺序 [红、蓝、绿]
第 100 个	$n=100$
$100÷3=33$ 余 1	33 个完整周期，下一周期第 1 个

标准形：

$n=qT+r(0\le r<T)$

• $r=1$ → 周期第 1 个
• $r=2$ → 周期第 2 个
• $r=0$ → 周期最后一个（不是不存在）

求解步骤

1. 画周期：写出循环顺序，标序号 1 到 $T$。
2. 做除法：$n÷T$，记录商和余数。
3. 查余数定位：余几就取周期中第几个；余 0 取最后一个。
4. 检验：用同法验算周期内已知位置，确认周期长度没错。

典例精析

例：彩灯按红、蓝、绿的顺序循环排列。第 100 盏灯是什么颜色？

解：周期长度 $T=3$。

$100÷3=33\text{（组）}\cdots \cdots 1\text{（个）}$

余 1，对应周期第 1 个颜色——红色。答：第 100 盏灯是红色。

家长可以直接复述的算法：3 盏灯一循环，100 盏灯里有 33 个完整的三灯组，还剩 1 盏——就是下一组的第 1 盏，跟每组开头一样，红色。

常见变式

1. 求个数：100 盏灯里红灯有多少？$33$ 个完整周期各 1 盏红灯 + 余数中 1 盏 = 34 盏。
2. 起点偏移：从蓝色开始循环，序号整体后移 1，对应关系调整。
3. 双周期叠加：星期（7 天）和天干（10 个）叠加，组合周期是 7 和 10 的最小公倍数 70。
4. 升级识别：周期中涉及数值累加（如每天增加固定量）转等差数列应用模型；周期位置与数值规律结合时先定位再套数列。

对比与联系

模型	工具	核心动作	典型问法
周期问题	有余数除法	余数定位	第 n 个是什么
等差数列	通项公式	求第 n 项或累计	均匀变化
还原问题	倒推法	逆运算	求初始值

一句话区分：周期问题 = 有余数的除法 + 查表定位。画清楚一个循环，除一下、看余数，答案就出来。