北师大版四年级上册第五单元《运算律》教材同步学习指南

定义

本单元把加法、乘法中一直存在的规律正式命名，并用字母表示。掌握运算律，既能让计算变快，也能为中学的代数运算打基础。

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。$a+b=b+a$。

加法结合律：三个数相加，先加前两个或先加后两个，和不变。$(a+b)+c=a+(b+c)$。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。$a\times b=b\times a$。

乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$。

乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$。

简便计算：利用运算律，把数凑成整十、整百、整千，或提出相同的因数，使计算少走弯路。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
加法交换律与结合律	观察、举例、归纳	会用字母表示并凑整
乘法交换律与结合律	对比加法运算律	记住 25×4、125×8 等凑整组合
乘法分配律	理解「分别相乘再相加」	会正用、逆用分配律
简便计算	选择凑整、拆数、提公因数	算得又对又快
运算律的字母表示	用字母概括规律	能说清每个字母表示什么

先学加法运算律，再迁移到乘法；先理解分配律的意义，再练简便计算。分配律是本单元的难点，也是易错点最集中的地方。

加法交换律与结合律

加法交换律：$35+67=102$，$67+35$ 也等于 102，所以 $35+67=67+35$。

加法结合律：计算 $28+45+55$，先算 $45+55=100$ 更简便：

$28+45+55=28+(45+55)=28+100=128$

三个数相加，改变运算顺序不影响结果。$168+253+32$ 可以先交换 253 与 32 的位置，再把 168 和 32 凑成 200：

$168+253+32=(168+32)+253=200+253=453$

易错：交换律改变加数的位置，结合律只改变括号的位置。$28+45+55$ 用的是结合律，不是交换律；写成 $28+(45+55)$ 时，45 和 55 的位置并没有换。

乘法交换律与结合律

乘法交换律：$25\times 4=100$，$4\times 25$ 也等于 100。

乘法结合律：计算 $25\times 17\times 4$，先用乘法交换律把 17 与 4 交换位置，再用结合律先算 $25\times 4$：

$25\times 17\times 4=(25\times 4)\times 17=100\times 17=1700$

常用的凑整组合要记熟：$25\times 4=100$，$125\times 8=1000$，$50\times 2=100$，$20\times 5=100$。

例：$125\times 24=125\times 8\times 3=1000\times 3=3000$。这里把 24 拆成 $8\times 3$，再用乘法结合律。

易错：$25\times (4\times 8)$ 是连乘，应该算成 $25\times 32=800$，或者 $(25\times 4)\times 8=800$；不能拆成 $25\times 4+25\times 8$，那是把分配律用到了连乘上。

乘法分配律

乘法分配律：$(20+4)\times 25$ 表示 24 个 25，可以拆成 20 个 25 加 4 个 25：

$(20+4)\times 25=20\times 25+4\times 25=500+100=600$

反过来，相同的因数可以提出来：

$36\times 7+64\times 7=(36+64)\times 7=100\times 7=700$

例 1：$102\times 36=(100+2)\times 36=100\times 36+2\times 36=3600+72=3672$。

例 2：$99\times 36=(100-1)\times 36=100\times 36-36=3600-36=3564$。

例 3：$38\times 99+38=38\times 99+38\times 1=38\times (99+1)=38\times 100=3800$。

易错：$(20+4)\times 25$ 只算 $20\times 25$ 就漏掉了 4 个 25。分配律的关键词是「分别乘，再相加」，两个加数一个都不能少。

简便计算

简便计算先观察，再选择方法：

• 凑整：$168+253+32$ 先把 168 与 32 凑成 200；$25\times 17\times 4$ 先把 25 与 4 凑成 100。
• 拆数：$102$ 拆成 $100+2$，$99$ 拆成 $100-1$，$24$ 拆成 $8\times 3$。
• 提公因数：$36\times 7+64\times 7$ 提出 7；$38\times 99+38$ 提出 38。
• 连减：$234-66-34=234-(66+34)=234-100=134$。

例：$125\times 88$ 可以这样算：

$125\times 88=125\times 8\times 11=1000\times 11=11000$

也可以写成 $125\times (80+8)=125\times 80+125\times 8=10000+1000=11000$。两种方法都用了运算律，第一种更简。

易错：添括号或去括号时，要看括号前面的符号。$234-66-34$ 可以写成 $234-(66+34)$，但 $234-66+34$ 不能写成 $234-(66+34)$。

运算律的字母表示

用字母表示运算律，写起来短，也方便记忆：

运算律	字母表示	例子
加法交换律	$a+b=b+a$	$35+67=67+35$
加法结合律	$(a+b)+c=a+(b+c)$	$(28+45)+55=28+(45+55)$
乘法交换律	$a\times b=b\times a$	$25\times 4=4\times 25$
乘法结合律	$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$	$(25\times 4)\times 17=25\times (4\times 17)$
乘法分配律	$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$	$(20+4)\times 25=20\times 25+4\times 25$

字母可以表示任何数，所以一条运算律能概括无数个具体算式。写字母表达式时，乘号可以简写成点或省略，但加法交换律里的加号不能省。

易错：不要漏写括号。$(a+b)\times c$ 与 $a+b\times c$ 完全不同，前者先加后乘，后者先乘后加。

本章的三条主线结论

1. 交换律换位置，结合律换括号：两者都不改变计算结果，但改变的是不同的东西。
2. 分配律是「分别乘」：括号里的每个加数都要与括号外的数相乘，少一个就错。
3. 简便计算先观察再动手：先找凑整组合或相同因数，再决定用哪条运算律，不要拿到题就硬算。

最易错：分配律漏乘一个加数；把分配律用在连乘上；减法、除法误用交换律。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 根据加法交换律填空：$35+67=67+$（ ）。——35。
2. 简便计算 $28+45+55$。——$28+(45+55)=128$。
3. 简便计算 $25\times 17\times 4$。——$(25\times 4)\times 17=1700$。
4. 简便计算 $102\times 36$。——$(100+2)\times 36=3672$。
5. 简便计算 $36\times 7+64\times 7$。——$(36+64)\times 7=700$。
6. 简便计算 $234-66-34$。——$234-(66+34)=134$。

第 1 题出错说明交换律没理解；第 2 题出错说明不会凑整；第 3 题出错说明乘法结合律不熟；第 4、5 题出错说明分配律正用或逆用不熟；第 6 题出错说明连减的括号处理有误。

课堂提示

• 本页难点：乘法分配律的正用与逆用。
• 一句提问：$(20+4)\times 25$ 表示多少个 25？能不能拆成 20 个 25 加 4 个 25？
• 板书/操作：用点子图画出 24 行 25 列，分成 20 行和 4 行两部分，让学生亲眼看到「分别乘再相加」的道理；再让学生用 25×4、125×8 做凑整比赛。

学完本章之后

• 本册第七单元《运用数量关系解决问题》：单价、数量、总价与速度、时间、路程的计算，常常配合运算律简算。
• 四年级下册《小数的意义和加减法》：整数加法运算律可以迁移到小数加法。
• 五年级上册《小数乘法》：乘法运算律推广到小数，$2.5\times 4$、$1.25\times 8$ 仍然是凑整的好帮手。
• 中学代数：整式运算、因式分解中的提取公因式，就是乘法分配律的逆用。

一句口诀收尾：交换换位置，结合换括号；分配分别乘，一项不能少；简算先观察，凑整错不了。