北师大版四年级上册第六单元《图形的奥秘》教材同步学习指南

定义

本单元研究的不是平面图形，而是立体图形。长方体、正方体、圆柱、球就在我们身边：纸箱、魔方、水杯、足球。

长方体：有 6 个面、12 条棱、8 个顶点。相对的两个面完全相同，相对的棱长度相等。一般 6 个面都是长方形，也可能有两个相对的面是正方形。

正方体：长、宽、高都相等的长方体。6 个面都是完全相同的正方形，12 条棱长度都相等，8 个顶点。

圆柱：上下两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。圆柱没有顶点，可以直立，也可以横着滚动。

球：表面是一个曲面，没有平面，没有顶点，放在哪里都能滚。

切开：用一个平面把立体图形分成两部分，切开处的面叫截面。切的方向不同，截面的形状可能不同。

搭建：用小棒做棱、用接头做顶点，搭出长方体或正方体的框架，能直观看到棱的分组和顶点的位置。

翻滚：让正方体在方格纸上一次次翻动，观察哪个面朝下、哪个面朝上，理解面与面之间的位置关系。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
长方体和正方体的特征	数面、棱、顶点	说清 6、12、8 的含义
圆柱和球	观察底面和侧面	分清平面与曲面
切开立体图形	横切、纵切、斜切	会描述截面形状
搭建框架	按长、宽、高配小棒	会用 12 根小棒搭框架
翻滚正方体	记录朝下的面	发现 4 次一循环
立体图形的拼组	两个正方体拼长方体	说清拼组后长宽高的变化

先看清面、棱、顶点，再做切开和搭建；先理解一个正方体的面，再研究它在翻滚中的变化。

长方体和正方体的面、棱、顶点

图形	面的特点	棱的特点	顶点数
长方体	6 个面，相对的面完全相同，一般为长方形，也可能有两个相对的面是正方形	12 条棱，相对的棱长度相等，按长、宽、高分为 3 组，每组 4 条	8 个
正方体	6 个面都是完全相同的正方形	12 条棱长度都相等	8 个
圆柱	2 个底面是相等的圆，侧面是曲面	侧面与底面相交成圆，没有直棱	0 个
球	1 个曲面，没有平面	没有棱	0 个

例：一个长方体长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米，它的 12 条棱可以分成三组：4 条长都是 6 厘米，4 条宽都是 4 厘米，4 条高都是 3 厘米。

易错：长方体的 6 个面不一定都是长方形。如果长和宽相等，前后、左右四个面是长方形，上下两个相对的面就是正方形。这时它仍然是长方体，不是正方体，因为高与长、宽不相等。

圆柱和球

圆柱由两个圆底面和一个曲面侧面围成。两个底面大小相同，侧面是弯曲的。把圆柱竖着放，它能稳稳立住；把它横着放，它就能滚动。

球只有一个曲面，没有平平的面，也没有顶点。足球、篮球、乒乓球都是球，放在斜面上会向各个方向滚。

例：一个圆柱形茶叶罐，底面直径 8 厘米、高 12 厘米。它的上下两个底面都是直径 8 厘米的圆，侧面是弯曲的。

易错：圆柱和球都有曲面，但圆柱有两个平面底面，球一个平面也没有。不要因为「都能滚」就把它们混为一谈。

切开立体图形

把一块橡皮泥捏成长方体，用小刀切一刀，切开处的面就是截面。

• 把正方体从中间横着切成两半，截面是正方形，得到两个完全一样的长方体；
• 把圆柱横着切，截面是圆；
• 把圆柱沿着直径竖着切，截面是长方形；
• 把正方体斜着切，截面可能是三角形、梯形等。

例：把一个棱长 6 厘米的正方体，在高的中点处水平切开，得到两个长 6 厘米、宽 6 厘米、高 3 厘米的长方体。每个长方体的截面都是边长 6 厘米的正方形。

易错：截面的形状取决于切的方向，不取决于立体图形「看起来像什么」。圆柱横切是圆，竖切是长方形，不能一律说成圆。

搭建框架

用橡皮泥团做顶点，用小棒做棱，可以搭出立体图形的框架。

搭一个长方体框架：需要 8 个顶点、12 根小棒。小棒按长、宽、高分成 3 组，每组 4 根。长、宽、高分别是 6 厘米、4 厘米、3 厘米时，需要 4 根 6 厘米、4 根 4 厘米、4 根 3 厘米的小棒。

搭一个正方体框架：需要 8 个顶点、12 根同样长的小棒。棱长 5 厘米时，12 根小棒一共长 $5\times 12=60$ 厘米。

例：用小棒搭一个长 8 厘米、宽 5 厘米、高 5 厘米的长方体框架，需要 4 根 8 厘米和 8 根 5 厘米的小棒，共 12 根；这个长方体的左右两个面是正方形。

易错：数小棒时要按方向分组，不能随手数。先数 4 条长，再数 4 条宽，最后数 4 条高，才能不重不漏。

翻滚正方体

把正方体放在方格纸上，朝下的一面做一个记号。每向前翻一次，正方体就前进一个棱长，朝下的面换成一个相邻的面。

• 翻 1 次，朝下的面是原来前面的面；
• 翻 2 次，朝下的面是原来上面的面；
• 翻 3 次，朝下的面是原来后面的面；
• 翻 4 次，朝下的面又回到原来那个面。

也就是说，朝一个方向连续翻滚，4 次为一个循环。在翻滚过程中，相对的两个面永远不会相邻，朝上的面与朝下的面始终是相对的面。

例：正方体的六个面分别写上 1 到 6，1 与 6 相对，2 与 5 相对，3 与 4 相对。开始时 1 朝下，翻 2 次后 6 朝下；翻 4 次后 1 又朝下。

易错：翻滚不是「想换哪个面就换哪个面」，而是按相邻面的顺序轮换。做题时可以用一个纸盒标上号码，实际滚一滚再判断。

立体图形的拼组

两个完全相同的正方体拼在一起，可以拼成一个长方体。棱长 3 厘米的正方体，拼成的长方体长 6 厘米、宽 3 厘米、高 3 厘米。

拼组后，相接的两个面藏在里面，不再属于外表面。原来的两个正方体一共有 $6+6=12$ 个面，拼成后外表面剩下 $12-2=10$ 个正方形面。

用长方体和正方体搭积木很稳，因为它们的面是平的；圆柱竖着放也稳，横着放会滚；球最难搭稳，一放就滚。

例：用 3 个棱长 2 厘米的正方体排成一排，拼成的长方体长 6 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米。

易错：拼组后两个正方体还是一个整体，但外表面变了。不要以为两个正方体拼起来，外表面还是 12 个面。

本章的三条主线结论

1. 面、棱、顶点是立体图形的三张名片：长方体 6 面、12 棱、8 顶点，正方体同样有 6 面、12 棱、8 顶点，但棱和面更特殊。
2. 切开、搭建、翻滚各有作用：切开看截面，搭建看棱和顶点，翻滚看面的位置变化，三种活动合起来才把立体图形看透。
3. 正方体是特殊的长方体：判断一个立体图形是不是长方体，看它是否满足长方体的全部特征，而不是看它「像不像」。

最易错：认为长方体 6 个面都是长方形；把正方体排除在长方体之外；翻滚时凭感觉换面。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 长方体有几个面、几条棱、几个顶点？——6 个面、12 条棱、8 个顶点。
2. 正方体棱长 5 厘米，搭一个框架需要多少厘米的小棒？——$5\times 12=60$ 厘米。
3. 把圆柱横着切一刀，截面是什么形状？——圆。
4. 正方体朝一个方向连续翻滚，翻几次朝下的面回到原来？——4 次。
5. 两个棱长 3 厘米的正方体拼成一个长方体，长、宽、高各是多少？——长 6 厘米、宽 3 厘米、高 3 厘米。
6. 搭一个长 8 厘米、宽 5 厘米、高 5 厘米的长方体框架，需要哪几种长度的小棒各几根？——8 厘米的 4 根，5 厘米的 8 根。

第 1 题出错说明特征没记牢；第 2 题出错说明棱长总和不会算；第 3 题出错说明切的方向与截面对应不上；第 4 题出错说明翻滚规律没掌握；第 5 题出错说明拼组后长宽高变化不清；第 6 题出错说明棱的分组不熟。

课堂提示

• 本页难点：长方体与正方体的包含关系、翻滚中面的轮换。
• 一句提问：正方体是不是长方体？为什么？
• 板书/操作：用土豆或橡皮泥切一刀，观察截面；用 12 根小棒和 8 个橡皮泥团搭长方体框架；给纸盒六个面编号，在桌上滚 4 次，记录每次朝下的号码。

学完本章之后

• 五年级下册《长方体（一）》：继续学习表面积和体积，本单元的面、棱、顶点是基础。
• 六年级上册《观察物体（二）》：从不同方向观察立体图形，会用三视图描述。
• 初中几何：立体图形的展开图、截面、三视图都会再次出现。
• 生活应用：包装箱、水杯、球类用品的形状设计，都要考虑立体图形的特征。

一句口诀收尾：六面十二棱，八个顶点清；正方是特例，棱棱都相等；切开看截面，翻滚四次回。