北师大版五年级上册第七单元《倍数与因数》教材同步学习指南

定义

本章研究非零自然数之间的整除关系。主线是：因数与倍数 → 2、5、3 的倍数特征 → 质数与合数 → 奇偶性。

因数与倍数：如果 $a\times b=c$，且 $a$、$b$、$c$ 都是非零自然数，那么 $a$ 和 $b$ 是 $c$ 的因数，$c$ 是 $a$ 和 $b$ 的倍数。例如 $3\times 4=12$，$3$ 和 $4$ 是 $12$ 的因数，$12$ 是 $3$ 和 $4$ 的倍数。

2、5、3 的倍数的特征：个位是 $0,2,4,6,8$ 的数是 $2$ 的倍数；个位是 $0$ 或 $5$ 的数是 $5$ 的倍数；各位数字之和是 $3$ 的倍数，这个数就是 $3$ 的倍数。

质数与合数：只有 $1$ 和它本身两个因数的数叫质数；除了 $1$ 和它本身还有别的因数的数叫合数。$1$ 既不是质数也不是合数。

奇偶性：是 $2$ 的倍数的数叫偶数，$0$ 也是偶数；不是 $2$ 的倍数的数叫奇数。个位是 $0,2,4,6,8$ 的是偶数，个位是 $1,3,5,7,9$ 的是奇数。

因数与倍数相互依存：说「$12$ 是倍数」不完整，必须说清「$12$ 是谁的倍数」；说「$3$ 是因数」也不完整，必须说清「$3$ 是谁的因数」。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
因数和倍数	借助乘法算式理解相互依存	会找一个数的因数、倍数
2、5 的倍数特征	观察个位数字	会快速判断并组数
3 的倍数特征	计算各位数字之和	会判断、会说明理由
质数和合数	按因数个数分类	会判断质数、合数
奇偶性	按是否为 $2$ 的倍数分类	会判断和、差的奇偶性

顺序不能颠倒：因数概念不清，倍数特征就只是口诀；不会判断 $2$、$5$、$3$ 的倍数，分解质因数就没有工具；质数、合数分清后，奇偶性才不会被个位数字误导。

因数和倍数

找一个数的因数，可以成对地找：从 $1$ 开始试，每找到一对，就把两个因数都记下来，直到两个因数相遇为止。

例 1：找出 $36$ 的全部因数。

$1\times 36=36$，$2\times 18=36$，$3\times 12=36$，$4\times 9=36$，$6\times 6=36$，所以 $36$ 的因数是 $1,2,3,4,6,9,12,18,36$，共 $9$ 个。

例 2：写出 $18$ 的前 $5$ 个倍数。

用 $18$ 分别乘 $1,2,3,4,5$，得 $18,36,54,72,90$。一个数的倍数有无数个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

例 3：$3\times 4=12$，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

$3$ 和 $4$ 是 $12$ 的因数，$12$ 是 $3$ 的倍数，也是 $4$ 的倍数。

易错：一个数的最小因数是 $1$，最大因数是它本身；但最小倍数也是它本身，没有最大倍数。不要把「因数个数有限」和「倍数个数无限」记反。

2、5、3 的倍数的特征

判断 $2$ 的倍数看个位，个位是 $0,2,4,6,8$；判断 $5$ 的倍数也看个位，个位是 $0$ 或 $5$；判断 $3$ 的倍数不能看个位，要把各位数字相加。

例 1：判断 $354$ 是不是 $2$、$3$、$5$ 的倍数。

个位是 $4$，是 $2$ 的倍数；各位和 $3+5+4=12$，$12$ 是 $3$ 的倍数，所以 $354$ 是 $3$ 的倍数；个位不是 $0$ 或 $5$，不是 $5$ 的倍数。

例 2：用 $0$、$1$、$2$ 组成同时是 $2$、$3$、$5$ 的倍数的三位数。

同时是 $2$ 和 $5$ 的倍数，个位必须是 $0$；各位和 $1+2+0=3$，是 $3$ 的倍数。可以组成 $120$ 和 $210$。

例 3：判断 $123$ 是不是 $3$ 的倍数。

$1+2+3=6$，$6$ 是 $3$ 的倍数，所以 $123$ 是 $3$ 的倍数。虽然个位是 $3$，但这与判断 $3$ 的倍数无关。

易错：$3$ 的倍数特征看各位数字之和，不是看个位；同时是 $2$ 和 $5$ 的倍数，个位一定是 $0$。

质数和合数

按因数的个数给自然数分类：只有 $1$ 和它本身两个因数的是质数；有两个以上因数的是合数；$1$ 只有一个因数，单独归为一类。

例 1：写出 $20$ 以内的质数。

$2,3,5,7,11,13,17,19$，共 $8$ 个。$2$ 是唯一的偶质数，其余质数都是奇数。

例 2：判断 $57$ 和 $91$ 是质数还是合数。

$57=3\times 19$，除了 $1$ 和 $57$ 还有因数 $3$ 和 $19$，是合数；$91=7\times 13$，也是合数。判断时不能只看个位。

例 3：最小的质数和最小的合数分别是多少？

最小的质数是 $2$，最小的合数是 $4$。$1$ 既不是质数也不是合数。

易错：$1$ 不是质数；$2$ 是质数且是偶数；$9$、$15$、$21$、$91$ 这些数容易被误判为质数，要用质数试除。

奇偶性

偶数是个位为 $0,2,4,6,8$ 的数，奇数是个位为 $1,3,5,7,9$ 的数。$0$ 是偶数。

奇偶性的运算规律：

• 奇数加奇数是偶数，偶数加偶数是偶数；
• 奇数加偶数是奇数；
• 奇数乘奇数是奇数，偶数乘任何整数是偶数。

例 1：$1+3+5+\cdots +99$ 的和是奇数还是偶数？

从 $1$ 到 $99$ 共有 $50$ 个奇数，两两配对成 $25$ 对，每对的和是偶数，所以总和是偶数。

例 2：$1+3+5$ 的和是奇数还是偶数？

$3$ 个奇数相加，$1+3=4$ 是偶数，$4+5=9$ 是奇数；奇数个奇数相加得奇数。

例 3：不用计算，判断 $24\times 35$ 的积是奇数还是偶数。

$24$ 是偶数，偶数乘任何整数都得偶数，所以积是偶数。

易错：$0$ 是偶数，不是奇数；判断一个数的奇偶性只看个位，不要被数的大小影响。

本章的三条主线结论

1. 因数与倍数相互依存：必须说清谁是谁的因数、谁是谁的倍数，不能单独使用。
2. 倍数特征分工明确：$2$、$5$ 看个位，$3$ 看各位数字之和。
3. 分类标准要统一：按因数个数分质数、合数，按是否为 $2$ 的倍数分奇数、偶数。

最易错：把 $1$ 当质数、判断 $3$ 的倍数看个位、因数倍数单独说、把 $91$ 一类数误判为质数。

自测

先自己算，再看答案：

1. 写出 $24$ 的全部因数。——$1,2,3,4,6,8,12,24$。
2. 判断 $255$ 是不是 $3$ 和 $5$ 的倍数。——各位和 $2+5+5=12$，是 $3$ 的倍数；个位是 $5$，是 $5$ 的倍数。
3. 写出 $20$ 以内的质数。——$2,3,5,7,11,13,17,19$。
4. 最小的质数和最小的合数分别是多少？——$2$ 和 $4$。
5. 奇数加偶数的和是奇数还是偶数？——奇数，例如 $3+4=7$。
6. 判断 $91$ 是质数还是合数。——合数，$91=7\times 13$。

第 1 题出错说明找因数没有成对找；第 2 题出错说明 $3$ 的倍数特征记错；第 3、4 题出错说明质数、合数的范围不清；第 5 题出错说明奇偶性规律不熟；第 6 题出错说明判断质数时试除不充分。

课堂提示

• 本页难点：$3$ 的倍数特征；判断较大的数是不是质数。
• 一句提问：$123$ 的个位是 $3$，为什么它却是 $3$ 的倍数？
• 课堂操作：每人发一张百数表，先用一种颜色圈出 $2$ 的倍数，再用另一种颜色圈出 $5$ 的倍数，最后圈 $3$ 的倍数，观察三组数的排列规律，并说一说为什么 $3$ 的倍数斜着排。
• 可复述的话：二五看个位，三看各位和；因数倍数成对说，一不是质数也非合数。

学完本章之后

• 五年级下册《分数加减法》：约分要找公因数，通分要找公倍数，因数倍数直接派上用场。
• 六年级上册《比》：化简比与求比值，也要用到公因数。
• 初中《因式分解》：数的因数分解推广到式的因式分解，分类讨论的思想继续使用。

一句口诀收尾：因数倍数相互说，二五看尾三看和；一非质也非合，奇偶只看个位说。