苏科版九年级上册第4章《数据的集中趋势和离散程度》教材同步学习指南

定义

刻画一组数据集中趋势的量主要有平均数、中位数和众数；刻画数据离散程度的量主要有方差和标准差。

平均数： $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}.$

方差： $s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\right].$

标准差： $s=\sqrt{s^2}.$

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 平均数	计算算术平均数与加权平均数	理解“权”的作用
4.2 中位数与众数	排序、定位、统计出现次数	三个统计量各取所长
4.3 四分位数和箱线图	找 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$，画箱线图	用五数概括描述分布
4.4 数据的离散程度	计算方差、标准差	比较两组数据的稳定性

4.1 平均数

算术平均数反映一组数据的平均水平： $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}.$

当各数据的重要程度不同时，用加权平均数： $\bar{x}=\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+\cdots +x_k{w}_k}{w_1+w_2+\cdots +w_k}.$ 其中 $w_1,w_2,\dots ,w_k$ 叫权。

例：平时成绩 90 分占 $30\%$，期末成绩 80 分占 $70\%$，则加权平均数为 $90\times 30\%+80\times 70\%=27+56=83.$

平均数利用了全部数据，但容易受极端值影响。一组数据中出现特别大或特别小的值时，平均数可能不能代表大多数数据。

4.2 中位数与众数

中位数：把一组数据按大小顺序排列，处于中间位置的数。

• 数据个数为奇数：取中间一个；
• 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。

众数：一组数据中出现次数最多的数据。众数可能不唯一；若各数据出现的次数相同，则没有突出的众数。

例：数据 2、3、3、5、7 的平均数为 4，中位数为 3，众数为 3。

例：数据 1、2、3、4 的中位数为 $\frac{2+3}{2}=2.5,$ 不能只写 2 或 3。

三个统计量的选择：

统计量	优点	局限
平均数	利用全部数据，便于计算	易受极端值影响
中位数	不受极端值影响，较稳健	没有利用全部数据
众数	反映出现最多的数据	可能不唯一或没有

4.3 四分位数和箱线图

把一组数据从小到大排列后，分成四等份，三个分界点分别叫：

• 下四分位数 $Q_1$；
• 中位数 $Q_2$；
• 上四分位数 $Q_3$。

四分位距为 $\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1,$ 它反映中间一半数据的跨度，比极差更稳健。

箱线图用五个数描述一组数据：最小值、$Q_1$、中位数、$Q_3$、最大值。箱体从 $Q_1$ 到 $Q_3$，中间一条线表示中位数，两侧须线延伸到最小值和最大值。

例：数据 1、2、3、4、5、6、7 中， $Q_1=2,Q_2=4,Q_3=6,$ 四分位距为 $6-2=4$。箱线图可以概括为：最小值 1，$Q_1=2$，中位数 4，$Q_3=6$，最大值 7。

箱线图适合比较两组数据的分布。箱体越长，中间一半数据越分散；中位数位置不同，说明中心位置有差异。

4.4 数据的离散程度

平均数相同的两组数据，波动程度可能不同。方差和标准差用来刻画这种波动。

方差： $s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\right].$

标准差： $s=\sqrt{s^2}.$

方差和标准差越大，数据波动越大，越不稳定。

例：数据 1、2、3、4、5 的平均数为 3，方差为 $s^2=\frac{(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+2^2}{5}=\frac{10}{5}=2.$ 标准差为 $\sqrt{2}$。

比较两组数据时，通常先看平均数判断平均水平，再看方差或标准差判断稳定性。

本章的三条主线结论

1. 集中趋势看“中心”：平均数、中位数、众数从不同角度描述中心
2. 离散程度看“波动”：方差、标准差越大，数据越分散
3. 统计量要配合使用：只比平均数不够，还要看中位数和离散程度

自测

先自己完成，再看答案：

1. 数据 3、5、7、9 的平均数是多少？——6
2. 数据 1、3、5、7、9 的中位数是多少？——5
3. 数据 2、2、3、4、4、4 的众数是多少？——4
4. 数据 1、2、3、4、5 的方差是多少？——2
5. 箱线图中的箱体表示哪两个四分位数之间的范围？——$Q_1$ 到 $Q_3$
6. 两组数据平均数相同，方差分别为 2 和 5，哪组更稳定？——方差为 2 的那组

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、4 题出错，说明中位数与方差的计算步骤还需再练。

学完本章之后

本章把“看数据”从图表推进到统计量：

• 九年级上册《等可能条件下的概率》：从数据特征走向随机事件的概率
• 高中统计：用样本平均数、方差估计总体，进一步学习正态分布
• 实际问题：成绩分析、产品质量比较、投资风险评估都会用到本章

把“先看中心，再看波动，最后结合业务判断”做成分析顺序，数据结论才可靠。