苏科版九年级上册第3章《圆》教材同步学习指南

定义

平面上到定点 $O$ 的距离等于定长 $r$ 的所有点组成的图形叫圆，记作 $\odot O$，其中 $O$ 叫圆心，$r$ 叫半径。

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆中最长的弦。圆上任意两点间的部分叫弧；顶点在圆心的角叫圆心角；顶点在圆上、两边都与圆相交的角叫圆周角。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 圆的相关概念	认识弦、弧、圆心角	分清直径与弦、优弧与劣弧
3.2 确定圆的条件	作三角形的外接圆	不在同一直线上的三点确定一个圆
3.3 圆的对称性	用垂径定理求弦长、弦心距	半径、半弦、弦心距构成直角三角形
3.4 圆周角	用圆周角定理转化角	同弧所对的角相等
3.5 点与圆、直线与圆的位置关系	判断位置关系，证明切线	比较 $d$ 与 $r$
3.6 正多边形与圆	用圆等分作正多边形	中心角为 $\frac{360^{\circ }}{n}$
3.7 扇形	计算弧长与扇形面积	$l=\frac{n\pi R}{180}$，$S=\frac{1}{2}lR$

3.1 圆的相关概念

• 弦：连接圆上任意两点的线段；
• 直径：经过圆心的弦，是最长的弦；
• 弧：圆上任意两点间的部分，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧；
• 圆心角：顶点在圆心的角；
• 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。

同圆或等圆的半径相等，这是圆中证明线段相等最常用的依据。

3.2 确定圆的条件

不在同一直线上的三点确定一个圆。

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。

外心的位置随三角形形状变化：

三角形形状	外心位置
锐角三角形	三角形内部
直角三角形	斜边的中点
钝角三角形	三角形外部

3.3 圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

例：$\odot O$ 的半径为 5，弦 $AB=8$，作 $OC\perp AB$ 于点 $D$。由垂径定理，$AD=DB=4$。在直角三角形 $OAD$ 中， $OD=\sqrt{O{A}^2-A{D}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$

半径、半弦、弦心距构成直角三角形，这是垂径计算的核心模型。

圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3.4 圆周角

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

常用推论：

1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；
2. 半圆或直径所对的圆周角是直角；
3. $90^{\circ }$ 的圆周角所对的弦是直径；
4. 圆内接四边形的对角互补。

例：$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在圆上，则 $\angle ACB=90^{\circ }.$ 反过来，若 $\angle ACB=90^{\circ }$，则 $AB$ 是直径。

圆内接四边形 $ABCD$ 中， $\angle A+\angle C=180^{\circ },\angle B+\angle D=180^{\circ }.$

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系

设圆心到点的距离为 $d$，圆的半径为 $r$：

位置关系	数量关系
点在圆内	$d<r$
点在圆上	$d=r$
点在圆外	$d>r$

设圆心到直线的距离为 $d$：

位置关系	公共点个数	数量关系
相交	2	$d<r$
相切	1	$d=r$
相离	0	$d>r$

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心。内心是三条角平分线的交点，到三边的距离相等。

3.6 正多边形与圆

把圆分成 $n$ 等份，依次连接各分点，所得多边形是正 $n$ 边形。

正 $n$ 边形的中心角为 $\frac{360^{\circ }}{n}.$ 正六边形的边长等于它的半径；正三角形的中心角为 $120^{\circ }$，正方形的中心角为 $90^{\circ }$。

3.7 扇形

半径为 $R$、圆心角为 $n^{\circ }$ 的扇形：

弧长公式： $l=\frac{n\pi R}{180}.$

扇形面积公式： $S=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac{1}{2}lR.$

例：半径为 6、圆心角为 $60^{\circ }$ 的扇形，弧长为

$l=\frac{60\pi \times 6}{180}=2\pi ,$ 面积为 $S=\frac{1}{2}\times 2\pi \times 6=6\pi .$

本章的三条主线结论

1. 圆的问题常化为直角三角形：半径、半弦、弦心距构成勾股关系
2. 角的关系靠弧来传递：同弧所对的圆周角相等，圆周角是圆心角的一半
3. 位置关系看 $d$ 与 $r$：点、直线与圆的关系都归结为距离比较

自测

先自己完成，再看答案：

1. 半径为 10，弦长为 16，弦心距是多少？——6
2. 直径所对的圆周角是多少度？——$90^{\circ }$
3. 圆内接四边形的一组对角有什么关系？——互补
4. 已知圆心到直线的距离等于半径，直线与圆是什么位置关系？——相切
5. 半径为 3、圆心角为 $120^{\circ }$ 的弧长是多少？——$2\pi$
6. 正六边形的中心角是多少度？——$60^{\circ }$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、5 题出错，说明垂径模型与弧长公式还需再练。

学完本章之后

本章是平面几何的综合章：

• 九年级下册《图形的相似》：圆中的比例线段、相似三角形会继续出现
• 九年级下册《锐角三角函数》：解直角三角形与圆的半径、弦长计算互相配合
• 高中《解析几何》：圆的方程、直线与圆的位置关系在坐标平面上重新表述

把“连半径、作垂线、找直角三角形”做成辅助线直觉，圆的计算题就有了稳定入口。