苏科版九年级上册第5章《等可能条件下的概率》教材同步学习指南

定义

在一次试验中，如果所有可能的结果只有有限个，并且每个结果出现的可能性相同，那么这些结果是等可能的。

在等可能条件下，若一次试验共有 $n$ 个结果，事件 $A$ 包含其中 $m$ 个结果，则 $P(A)=\frac{m}{n}.$

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
5.1 等可能性	判断结果是否等可能	确认 $P(A)=\frac{m}{n}$ 的使用条件
5.2 等可能条件下的概率	用列表、树状图列举	不重不漏地数出 $m$ 和 $n$
5.3 概率的应用——抽签方法合理吗?	比较先后抽签的概率	说明抽签公平
5.4 概率的应用——概率帮你做估计	用频率估计概率	由样本估计总体

5.1 等可能性

判断结果是否等可能，要看试验条件，不能凭感觉。

• 掷一枚质地均匀的骰子，1 至 6 点出现的可能性相同，是等可能结果；
• 袋中红球、白球数量不同，随机摸出一个球，摸到红球与白球不是等可能的；
• 抛一枚图钉，钉尖朝上与朝下的可能性通常不相同，也不是等可能结果。

只有等可能结果才能直接数个数求概率。

5.2 等可能条件下的概率

求概率的一般步骤：

1. 确定一次试验共有多少个等可能结果 $n$；
2. 数出事件 $A$ 包含的结果数 $m$；
3. 计算 $P(A)=\frac{m}{n}$。

列表法适合两个因素的试验。例：掷两枚均匀硬币，列表可得 4 个等可能结果：

	正	反
正	正正	正反
反	反正	反反

一正一反包含“正反”“反正”2 个结果，所以

$P(\text{一正一反})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

树状图适合多个步骤的试验。画树状图时，每一层表示一个步骤，每条路径表示一个结果。

注意“放回”与“不放回”的区别。袋中有 2 个红球和 1 个白球，连续摸两次：

• 放回：第二次仍有 3 个球可选；
• 不放回：第一次摸出后，第二次只剩 2 个球可选。

两种情况的样本空间不同，概率也不同。

5.3 概率的应用——抽签方法合理吗?

抽签是常见的公平决策方式。以 3 张签中有 1 张有奖为例：

• 第一个人中奖的概率是 $\frac{1}{3}$；
• 若第一个人没中奖，第二个人在剩下 2 张签中抽，中奖概率为 $\frac{1}{2}$；
• 若第一个人中奖，第二个人中奖概率为 0。

用树状图计算第二个人的中奖概率： $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$ 第三个人同理，中奖概率也是 $\frac{1}{3}$。所以先抽后抽概率相同，抽签是公平的。

这里的关键是“签不放回”且每支签被抽到的机会均等。如果抽签规则改变了每支签被抽到的机会，公平性就要重新判断。

5.4 概率的应用——概率帮你做估计

当结果不易列举或无法判断等可能性时，可以用大量重复试验得到的频率估计概率。

例：某批次种子发芽试验，抽取 500 粒，有 475 粒发芽，则发芽频率为 $\frac{475}{500}=\mathrm{0.95.}$ 在样本有代表性的前提下，可以用 0.95 估计这批种子的发芽概率。

例：从池塘中捞出 100 条鱼做标记后放回，充分混合后再捞出 200 条，其中有 10 条带标记。设池塘中约有 $N$ 条鱼，则 $\frac{100}{N}\approx \frac{10}{200},$ 解得 $N\approx 2000$。这是用样本比例估计总体的典型方法。

用频率估计概率时，试验次数要足够多，样本要有代表性。一次或几次试验的频率波动很大，不能直接当作概率。

本章的三条主线结论

1. 等可能是前提：结果有限且机会均等，才能用 $P(A)=\frac{m}{n}$
2. 列举要不重不漏：列表看两个因素，树状图看多个步骤
3. 抽签与频率估计都靠概率说话：先算清样本空间，再比较或估计

自测

先自己完成，再看答案：

1. 掷一枚均匀骰子，点数为 3 的概率是多少？——$\frac{1}{6}$
2. 掷两枚均匀硬币，两枚都正面的概率是多少？——$\frac{1}{4}$
3. 3 张签中 1 张有奖，第二个人中奖的概率是多少？——$\frac{1}{3}$
4. 袋中有 2 红 1 白，不放回连续摸两次，第一次摸到红球的概率是多少？——$\frac{2}{3}$
5. 抽取 200 粒种子，180 粒发芽，发芽频率是多少？——0.9
6. 抛一枚图钉，能直接用 $\frac{1}{2}$ 求钉尖朝上的概率吗？——不能，两种结果不一定等可能

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、4 题出错，说明列表法与放回、不放回的区别还需再练。

学完本章之后

本章把概率从“认识”推进到“计算”：

• 高中概率：古典概型、独立事件、条件概率都在等可能模型上展开
• 统计：用样本频率估计总体概率是统计推断的起点
• 实际决策：抽签、抽奖、风险评估都要求先算清概率再判断公平性

把“先确认等可能—再列样本空间—最后数结果”做成固定顺序，概率计算就不会凭感觉。