浙教版八年级下册第3章《数据分析初步》教材同步学习指南

学习顺序

3.1 平均数

算术平均数把全部数据加起来再除以个数。加权平均数则先给每个数据乘相应的权，再除以权之和。

例：某学生的平时成绩 80 分、期中 90 分、期末 85 分，三项依次按 $30\%$、$30\%$、$40\%$ 计入总评，则 $\bar{x}=80\times 0.3+90\times 0.3+85\times 0.4=24+27+34=85.$

平均数利用了全部数据，但也容易受极端值影响。例如 $1,2,3,4,100$ 的平均数是 $22$，绝大多数数据都远小于它。

提醒：加权平均数的分母是权之和，不是数据个数；权用百分比表示时，要确认百分比之和为 $100\%$。

3.2 中位数和众数

中位数把排序后的数据分成数量相等的两部分。数据个数为奇数时，取正中间的数；个数为偶数时，取中间两个数的平均数。

例：数据 $2,3,3,5,7,10$ 已按从小到大排列，共有 6 个，中位数为 $\frac{3+5}{2}=4.$

众数是出现次数最多的数据。上组数据中 $3$ 出现两次，其余各出现一次，所以众数为 $3$。

众数可能不唯一。数据 $1,2,2,3,3,4$ 中，$2$ 和 $3$ 都出现两次，所以众数是 $2$ 和 $3$，不能只写其中一个。

提醒：中位数必须先排序再找位置；众数看出现次数，不看数值大小，也不一定只有一个。

3.3 方差和标准差

方差先求每个数据与平均数的偏差，再把偏差平方后求平均。平方的作用是消除正负抵消，并放大大偏差的影响。

例：比较两组数据。

甲组：$2,4,6,8,10$，平均数 $\bar{x}=6$，方差 $s_{\text{甲}}^2=\frac{(-4{)}^2+(-2{)}^2+0^2+2^2+4^2}{5}=\frac{40}{5}=8,$ 标准差 $s_{\text{甲}}=2\sqrt{2}\approx 2.83$。

乙组：$5,5,6,7,7$，平均数也是 $6$，方差 $s_{\text{乙}}^2=\frac{(-1{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+1^2}{5}=\frac{4}{5}=0.8,$ 标准差 $s_{\text{乙}}=\sqrt{0.8}\approx 0.89$。

两组平均数相同，乙组方差更小，说明乙组数据更集中、更稳定。

提醒：初中阶段方差的分母是数据个数 $n$；标准差是方差的算术平方根。比较稳定性时，先确认两组数据的平均数接近，否则只看方差会误导。

本章的三条主线结论

1. 三个集中趋势量各有分工：平均数用全部数据，中位数看位置，众数看频数
2. 中位数抗极端值：遇到个别极大或极小值时，中位数比平均数更能代表一般水平
3. 方差与标准差刻画波动：数值越小越稳定，标准差与原数据同单位，解释更方便

自测

先自己完成，再看答案：

1. 数据 $4,6,8$ 的平均数是多少？——$6$
2. 数据 $1,2,2,3,4$ 的中位数和众数分别是多少？——中位数 $2$，众数 $2$
3. 数据 $3,5,5,7$ 的中位数和众数分别是多少？——中位数 $5$，众数 $5$
4. 一组数据的方差为 $4$，标准差是多少？——$2$
5. 甲、乙两组数据的方差分别为 $1.2$ 和 $0.8$，哪组更稳定？——乙组
6. 数据 $2,4,6,8,10$ 的方差是多少？——$8$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、6 题出错，说明中位数的排序与方差的计算步骤还需再练。

学完本章之后

• 九年级《概率初步》：用频率估计概率，频率的稳定性与本章的波动程度互相呼应
• 高中《统计》：样本方差、标准差与正态分布中的离散程度
• 用样本估计总体：抽样调查后，用样本平均数、方差估计总体水平与稳定性

把「先排序、再计算、后比较」固定成流程，数据分析题就不会在细节上失分。