浙教版八年级下册第4章《平行四边形》教材同步学习指南

定义

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。顶点依次为 $A$、$B$、$C$、$D$ 的平行四边形记作平行四边形 $ABCD$。

本章从多边形出发，先研究平行四边形的性质，再用中心对称为它建立对称解释，接着学习判定，最后用中位线和反证法把平行四边形的工具用到三角形与一般命题上。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 多边形	推导内角和、外角和与对角线数	$(n-2)\times 180^{\circ }$；外角和 $360^{\circ }$
4.2 平行四边形	掌握边、角、对角线的性质	对边相等、对角相等、对角线互相平分
4.3 中心对称	认识中心对称与中心对称图形	对称点连线被对称中心平分
4.4 平行四边形的判定	由边或对角线条件判定	四种常用判定方法
4.5 三角形的中位线	证明并应用中位线定理	平行于第三边且等于其一半
4.6 反证法	用反设、归谬、结论三步证明	处理直接证明困难的命题

4.1 多边形

从 $n$ 边形的一个顶点出发，可以引 $(n-3)$ 条对角线，把多边形分成 $(n-2)$ 个三角形，所以 $n\text{边形的内角和}=(n-2)\times 180^{\circ }.$

多边形的外角和恒为 $360^{\circ }$，与边数无关。正 $n$ 边形的每个外角为 $\frac{360^{\circ }}{n}$。对角线总数为 $\frac{n(n-3)}{2}$。

例：五边形的内角和为 $(5-2)\times 180^{\circ }=540^{\circ }$；正十边形的每个外角为 $36^{\circ }$，每个内角为 $180^{\circ }-36^{\circ }=144^{\circ }$。

提醒：内角和随边数变化，外角和始终是 $360^{\circ }$；正多边形的内角与外角互补。

4.2 平行四边形

平行四边形有三组性质：

• 对边平行且相等；
• 对角相等，邻角互补；
• 对角线互相平分。

例：在平行四边形 $ABCD$ 中，若 $\angle A=70^{\circ }$，则邻角 $\angle B=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$，对角 $\angle C=\angle A=70^{\circ }$，$\angle D=\angle B=110^{\circ }$。

若 $AB=5$，$BC=3$，则周长为 $2\times (5+3)=16$。若对角线 $AC=10$，两条对角线交于点 $O$，则 $AO=OC=5$。

提醒：平行四边形的对角线一定互相平分，但不一定相等，也不一定垂直；对角线相等是矩形的性质，对角线垂直是菱形的性质。

4.3 中心对称

把一个图形绕某一点旋转 $180^{\circ }$，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫对称中心。若一个图形绕某点旋转 $180^{\circ }$ 后能与自身重合，这个图形叫中心对称图形。

中心对称的性质：

• 对称点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分；
• 成中心对称的两个图形全等。

例：平行四边形绕两条对角线的交点旋转 $180^{\circ }$ 后与自身重合，所以平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

提醒：中心对称是旋转 $180^{\circ }$，轴对称是沿直线翻折；平行四边形一般不是轴对称图形。

4.4 平行四边形的判定

常用判定方法：

1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例：在四边形 $ABCD$ 中，若 $AB\parallel CD$ 且 $AB=CD$，则由「一组对边平行且相等」得 $ABCD$ 是平行四边形。

例：若对角线 $AC$、$BD$ 交于点 $O$，且 $AO=CO$，$BO=DO$，则由「对角线互相平分」得 $ABCD$ 是平行四边形。

提醒：「一组对边平行、另一组对边相等」不能判定平行四边形。等腰梯形满足 $AB\parallel CD$、$AD=BC$，但它不是平行四边形。平行且相等的必须是同一组对边。

4.5 三角形的中位线

连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

证明思路：在 $△ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点。延长 $DE$ 到 $F$，使 $EF=DE$，连接 $CF$。由 $AE=CE$、$\angle AED=\angle CEF$、$DE=EF$，得 $△ADE\cong △CFE$，所以 $CF=AD$，且 $\angle ADE=\angle CFE$，从而 $CF\parallel AD$。又 $AD=BD$，所以 $CF=BD$，$CF\parallel BD$。于是四边形 $DBCF$ 是平行四边形，$DF\parallel BC$ 且 $DF=BC$。又 $DE=\frac{1}{2}DF$，所以 $DE\parallel BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。

例：若 $BC=10$，则中位线 $DE=5$；反过来，若中位线长为 4，则第三边长为 8。

提醒：中位线连接两边中点，中线连接顶点与对边中点；中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，对应关系不要弄错。

4.6 反证法

反证法的一般步骤：

1. 反设：假设结论的反面成立；
2. 归谬：从假设出发，结合已知条件、定义、定理推出矛盾；
3. 结论：假设不成立，原结论成立。

例：求证三角形中至少有一个内角不大于 $60^{\circ }$。

假设三个内角都大于 $60^{\circ }$，则三个内角的和大于 $180^{\circ }$，这与三角形内角和等于 $180^{\circ }$ 矛盾。所以假设不成立，三角形中至少有一个内角不大于 $60^{\circ }$。

提醒：反设要准确否定结论，例如「至少有一个」的反面是「一个也没有」；必须真正推出矛盾，不能写着「所以矛盾」却没有依据。

本章的三条主线结论

1. 平行四边形是本章枢纽：性质与判定互为逆命题，边、角、对角线三条线索要分开记
2. 对角线是判定与性质的共同入口：对角线互相平分既是性质，也是最常用的判定之一
3. 中位线与反证法扩展工具：中位线把三角形问题转化为平行四边形问题，反证法处理直接证明困难的命题

自测

先自己完成，再看答案：

1. 六边形的内角和是多少？——$(6-2)\times 180^{\circ }=720^{\circ }$
2. 正十二边形的每个外角是多少？——$30^{\circ }$
3. 平行四边形 $ABCD$ 中 $\angle A=65^{\circ }$，求 $\angle B$。——$115^{\circ }$
4. 平行四边形对角线 $AC=10$，交点为 $O$，求 $AO$。——$5$
5. 三角形中位线长为 6，第三边长是多少？——$12$
6. 用反证法证明「三角形中至少有一个角不大于 $60^{\circ }$」，第一步应假设什么？——假设三个角都大于 $60^{\circ }$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、6 题出错，说明内角和公式与反证法的反设还需再练。

学完本章之后

• 第5章《特殊平行四边形》：在平行四边形上分别加「直角」「邻边相等」，得到矩形、菱形和正方形
• 九年级《圆》与《相似三角形》：中位线、中心对称和全等工具会反复使用
• 高中立体几何与向量：平行四边形的对边相等、对角线互相平分是向量加减法的几何基础

把「先看条件属于边、角还是对角线，再选判定」固定成流程，平行四边形证明题就有了稳定入口。