浙教版八年级下册第2章《一元二次方程》教材同步学习指南

定义

只含一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程。一般形式为 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0),$ 其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$ 是常数项。$a\ne 0$ 是定义的一部分，缺了它方程就不再是二次方程。

本章主线：先化成一般形式，再按方程特点选解法，最后回到实际情境检验。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1 一元二次方程	辨认方程，整理成一般形式	正确读出 $a$、$b$、$c$
2.2 一元二次方程的解法	开方、配方、公式、因式分解	会根据方程特点选最简解法
2.3 一元二次方程的应用	设未知数、列方程、检验	增长率、面积、比赛场次等模型
2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）	用和与积处理根的对称式	$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

2.1 一元二次方程

判断一个方程是否为一元二次方程，要看三点：只含一个未知数、是整式方程、整理后未知数的最高次数为 2 且二次项系数不为 0。

例：把 $(x-1)(x+2)=3$ 化成一般形式。

$x^2+x-2=3\Rightarrow x^2+x-5=0,$

所以 $a=1$，$b=1$，$c=-5$。

使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根。例如 $x=2$ 时 $x^2-5x+6=4-10+6=0$，所以 $x=2$ 是 $x^2-5x+6=0$ 的一个根。

提醒：先展开、移项、合并同类项，再读系数；常数项要带上符号。

2.2 一元二次方程的解法

四种解法各有适用场景。

直接开平方法：适用于 $(x+m{)}^2=n$（$n\ge 0$）的形式。例如 $(x-1{)}^2=4\Rightarrow x-1=\pm 2\Rightarrow x=3\text{或}x=-1.$

配方法：先把二次项系数化为 1，再配上一次项系数一半的平方。例如 $x^2+6x-7=0\Rightarrow x^2+6x=7\Rightarrow (x+3{)}^2=16,$ 所以 $x+3=\pm 4$，即 $x=1$ 或 $x=-7$。

公式法：对 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$），当 $\Delta =b^2-4ac\ge 0$ 时， $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ 例如 $2x^2-3x-2=0$ 中 $\Delta =(-3{)}^2-4\times 2\times (-2)=25$，所以 $x=\frac{3\pm 5}{4},$ 得 $x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。

因式分解法：把方程一边分解成两个一次因式的积，另一边为 0。例如 $x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-2)(x-3)=0\Rightarrow x_1=2,x_2=3.$

选择顺序：能直接开方或因式分解的优先；不易分解时用配方法或公式法。公式法最通用，但必须先化成一般形式。

提醒：方程两边不能随意除以含未知数的式子，否则会丢根；$x^2=3x$ 应移项分解，而不是直接约去 $x$。

2.3 一元二次方程的应用

解题步骤：设未知数，找出等量关系，列方程，解方程，检验并作答。

增长率模型：原来的量为 $a$，平均增长率为 $x$，经过两次增长后为 $b$，则 $a(1+x{)}^2=b.$ 例：某商品原价 100 元，连续两次涨价后为 121 元，求平均每次涨价的百分率。由 $100(1+x{)}^2=121\Rightarrow (1+x{)}^2=1.21,$ 得 $1+x=\pm 1.1$，即 $x=0.1$ 或 $x=-2.1$。涨价率取正，所以每次涨价 $10\%$。

面积模型：矩形长比宽多 3，面积为 40，求宽。设宽为 $x$，则 $x(x+3)=40\Rightarrow x^2+3x-40=0\Rightarrow (x+8)(x-5)=0.$ $x=5$ 或 $x=-8$，长度取正，所以宽为 5，长为 8。

比赛场次模型：$n$ 个队进行单循环比赛，总场次为 $\frac{n(n-1)}{2}$。若总场次为 28，则 $\frac{n(n-1)}{2}=28\Rightarrow n^2-n-56=0\Rightarrow (n-8)(n+7)=0,$ 取正整数 $n=8$。

提醒：解出的根不一定都符合实际意义。长度、人数取正，增长率要结合实际范围取舍，最后要写清答句。

2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）

若 $x_1$、$x_2$ 是方程 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）的两个实数根，则 $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

例：$x^2-5x+6=0$ 的两根为 2 和 3，验证 $2+3=5=-\frac{-5}{1},2\times 3=6=\frac{6}{1}.$

例：$2x^2-3x-2=0$ 的两根为 2 和 $-\frac{1}{2}$，则 $2+\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}=-\frac{-3}{2},2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1=\frac{-2}{2}.$

利用和与积可以求根的对称式。例如对 $x^2-5x+6=0$， $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=5^2-2\times 6=13.$

提醒：两根之和是 $-\frac{b}{a}$，不要漏掉负号；使用前要确认方程有实数根，即 $\Delta \ge 0$。

本章的三条主线结论

1. 一般形式是起点：先整理成 $a{x}^2+bx+c=0$ 并确认 $a\ne 0$，再读系数、选解法
2. 解法按特点选：直接开方与因式分解优先，配方法与公式法兜底，公式法最通用
3. 解完必须检验：实际问题要筛掉不合题意的根；韦达定理把两根的和、积与系数直接连起来

自测

先自己完成，再看答案：

1. 把 $(x-1)(x+2)=3$ 化成一般形式。——$x^2+x-5=0$
2. 解方程 $x^2-4x=0$。——$x_1=0$，$x_2=4$
3. 解方程 $2x^2-7x+3=0$。——$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$
4. 判断 $x^2+2x+3=0$ 的根的情况。——$\Delta =-8<0$，没有实数根
5. 写出两根为 2 和 5 的一元二次方程。——$(x-2)(x-5)=0$，即 $x^2-7x+10=0$
6. 某量经过两次增长由 100 变为 144，求平均增长率。——$100(1+x{)}^2=144$，得 $x=0.2$，即 $20\%$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、6 题出错，说明一般形式整理与实际检验还需再练。

学完本章之后

• 九年级《二次函数》：抛物线与 $x$ 轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，判别式决定交点个数
• 高中《一元二次不等式》：先求对应方程的根，再按图象写解集
• 解析几何：韦达定理用于求弦长、中点坐标和含两根的对称式

把「先化一般形式、再选解法、最后检验」固定成习惯，一元二次方程就不会在符号和取舍上丢分。