浙教版九年级下册第3章《投影与三视图》教材同步学习指南

定义

物体在光线的照射下，在某个平面上得到的图形叫投影。照射的光线叫投影线，承受投影的平面叫投影面。

• 投影线互相平行的投影叫平行投影；
• 投影线交于一点的投影叫中心投影；
• 投影线垂直于投影面的平行投影叫正投影。

物体的正投影叫视图。从正面、左面、上面看同一个物体，得到的视图分别叫主视图、左视图、俯视图，合称三视图。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 投影	区分平行投影、中心投影与正投影	会用影长比例测量高度
3.2 简单几何体的三视图	按位置与尺寸关系画三视图	掌握长对正、高平齐、宽相等
3.3 由三视图描述几何体	由三个视图还原立体图形	会读长、宽、高并验证
3.4 简单几何体的表面展开图	画展开图，算侧面积与全面积	掌握圆锥侧面积 $S=\pi rl$

3.1 投影

太阳光线可以看作平行光，太阳光下物体形成的影子是平行投影；灯光从一点发出，灯光下物体形成的影子是中心投影。

平行投影有一个重要性质：同一时刻，物体的高度与影长成正比。例：1.8 m 高的人在阳光下影长 1.2 m，同一时刻旗杆影长 8 m，设旗杆高为 $h$，则 $\frac{h}{1.8}=\frac{8}{1.2},$ 解得 $h=12$ m。

中心投影的光线交于一点，物体离光源越近影子越短，物高与影长不成正比，不能直接用上面的比例式计算。

易错：正投影是平行投影的一种特殊情况，不能把三者并列成互不相干的三类；中心投影下物高与影长的比例关系不成立。

3.2 简单几何体的三视图

三视图的位置固定：主视图在左上方，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下方。画图时遵循：

• 长对正：主视图与俯视图的长相等；
• 高平齐：主视图与左视图的高相等；
• 宽相等：俯视图与左视图的宽相等。

可见的轮廓线画实线，被遮挡而看不见的轮廓线画虚线。

几何体	主视图	左视图	俯视图
圆柱	矩形	矩形	圆
圆锥	等腰三角形	等腰三角形	带圆心的圆
球	圆	圆	圆
正方体	正方形	正方形	正方形

例：长方体长 4、宽 3、高 2，则主视图是 $4\times 2$ 的矩形，左视图是 $3\times 2$ 的矩形，俯视图是 $4\times 3$ 的矩形。

易错：左视图的宽来自几何体的宽，不是长；只画看得见的轮廓会漏掉内部结构，虚线不能省。

3.3 由三视图描述几何体

由三视图还原几何体，一般分三步：

1. 看主视图与俯视图，判断几何体的大致形状；
2. 用“长对正、高平齐、宽相等”读出长、宽、高；
3. 用第三个视图检验，确认没有多余或缺失的结构。

例：某几何体的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，且俯视图的直径等于主视图的宽，则这个几何体是圆柱。

例：主视图是 $4\times 2$ 的矩形，左视图是 $2\times 2$ 的正方形，俯视图是 $4\times 2$ 的矩形。由长对正得长为 4，由高平齐得高为 2，由宽相等得宽为 2，所以几何体是长 4、宽 2、高 2 的长方体。

易错：不能只凭一个视图判断几何体。三视图都是圆的是球，但主视图是圆、俯视图是圆的还可能是不够高的圆柱，必须三个视图一起看。

3.4 简单几何体的表面展开图

把立体图形沿棱剪开铺平，得到的平面图形叫表面展开图。

• 直棱柱：两个全等的底面加若干个矩形侧面；
• 圆柱：两个圆加一个矩形，矩形的长等于底面周长 $2\pi r$，宽等于高 $h$，侧面积 $S=2\pi rh$；
• 圆锥：一个圆加一个扇形，扇形的弧长等于底面周长 $2\pi r$，半径等于母线 $l$，侧面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\pi r\times l=\pi rl.$

例：圆锥底面半径 $r=3$，母线 $l=5$，则侧面积

$S_{\text{侧}}=\pi \times 3\times 5=15\pi ,$ 全面积 $S_{\text{全}}=15\pi +\pi \times 3^2=24\pi .$ 展开所得扇形的圆心角 $n$ 满足 $\frac{n\pi \times 5}{180}=2\pi \times 3$，解得 $n=216^{\circ }$。

易错：扇形的半径是母线 $l$，不是底面半径 $r$；圆柱侧面展开后矩形的长是底面周长，不是底面直径。

本章的三条主线结论

1. 投影分两类，正投影是画视图的依据：平行投影的光线互相平行，中心投影的光线交于一点，正投影要求投影线垂直于投影面。
2. 三视图遵循三条尺寸关系：长对正、高平齐、宽相等，位置固定，虚实分明。
3. 展开图把立体问题化为平面计算：圆锥侧面的扇形半径是母线，弧长是底面周长。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 灯光下物体形成的影子属于哪种投影？——中心投影
2. 主视图与俯视图应满足什么关系？——长对正
3. 圆柱的俯视图是什么图形？——圆
4. 球的三视图是什么？——三个圆
5. 圆锥底面半径为 2、母线长为 6，求侧面积。——$\pi \times 2\times 6=12\pi$
6. 正方体棱长为 3，求主视图的面积。——正方形，面积为 9

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、5 题出错，说明投影分类与圆锥侧面积公式还需再练。

学完本章之后

本章是初中几何从平面走向立体的收尾：

• 高中《立体几何》：系统学习空间几何体的结构、表面积与体积，三视图是空间想象的入门工具
• 工程制图：机械零件、建筑图纸都用三视图表达，虚线表示内部结构
• 实际应用：根据展开图下料制作包装盒、圆锥形帽子与灯罩

把“先定投影类型—再按三条尺寸关系画图—最后用展开图算面积”做成顺序，投影与三视图就不再是凭感觉的题。