浙教版九年级下册第2章《直线与圆的位置关系》教材同步学习指南

学习顺序

2.1 直线与圆的位置关系

判断位置关系，关键是把“形”转化为“数”：算出圆心到直线的距离 $d$，再与半径 $r$ 比较。

例：$\odot O$ 的半径为 5，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 3。因为 $3<5$，所以直线与圆相交，有两个公共点。此时弦长为 $2\sqrt{5^2-3^2}=2\times 4=8.$

切线的判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

例：直线 $l$ 经过 $\odot O$ 上一点 $A$，且 $OA\perp l$，则 $l$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $A$。反过来，若 $l$ 与 $\odot O$ 相切于 $A$，则 $OA\perp l$。

易错：$d$ 是圆心到直线的距离，不是圆心到直线上某一点的距离；有公共点也不一定是相切，相交时同样有公共点。

2.2 切线长定理

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

例：$PA$、$PB$ 分别切 $\odot O$ 于 $A$、$B$，$PA=6$，$\angle APB=60^{\circ }$。

由切线长定理得 $PB=PA=6$，且 $PO$ 平分 $\angle APB$，所以 $\angle APO=30^{\circ }$。又因为 $PA=PB$，$\angle APB=60^{\circ }$，所以 $△PAB$ 是等边三角形，$AB=6$。

连接 $OA$ 可得 $OA\perp PA$，于是 $PO=\frac{PA}{\cos 30^{\circ }}=\frac{6}{\sqrt{3}/2}=4\sqrt{3},$ $OA=PO\sin 30^{\circ }=4\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=2\sqrt{3}.$ 验算：$P{A}^2+O{A}^2=36+12=48=P{O}^2$，符合勾股定理。

易错：切线长是线段 $PA$ 的长度，不是整条切线所在直线的长度；证切线时既要说明点在圆上（半径外端），又要说明垂直。

2.3 三角形的内切圆

与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心。内心是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，这个距离就是内切圆半径 $r$。

把内心与三个顶点相连，三角形被分成三个小三角形，它们的高都是 $r$，于是 $S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}r(a+b+c).$ 对直角三角形，还有 $r=\frac{a+b-c}{2},$ 其中 $c$ 为斜边。

例：直角三角形两直角边为 3 和 4，斜边为 5，周长 12，面积 6。由面积公式得 $6=\frac{1}{2}r\times 12,$ 所以 $r=1$。用直角三角形的公式验算：$\frac{3+4-5}{2}=1$，结果一致。

易错：内心在三角形内部，是角平分线的交点；外心是三条边的垂直平分线的交点，可能在三角形内、边上或外部，二者不能混用。

本章的三条主线结论

1. 位置关系看 $d$ 与 $r$：相切是分界点，$d=r$ 时只有一个公共点。
2. 切线的判定与性质互为逆命题：判定要“过半径外端且垂直”，性质直接给出垂直。
3. 内切圆把面积拆成三份：$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ 是求内切圆半径的通法。

自测

先自己完成，再看答案：

1. $\odot O$ 的半径 $r=4$，圆心到直线 $l$ 的距离 $d=4$，直线与圆是什么位置关系？——相切
2. $r=6$，$d=2$，直线与圆有几个公共点？——$d<r$，相交，有 2 个公共点
3. 从圆外一点引圆的两条切线，一条切线长为 5，另一条切线长是多少？——也是 5
4. 三角形周长为 20，内切圆半径为 2，求三角形面积。——$S=\frac{1}{2}\times 2\times 20=20$
5. 直角三角形两直角边为 5 和 12，求内切圆半径。——斜边为 13，$r=\frac{5+12-13}{2}=2$
6. 三角形的内心是哪三条线的交点？——三条角平分线

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、2 题出错，说明 $d$ 与 $r$ 的比较还需再练。

学完本章之后

本章把圆的研究从“圆内”推进到“圆与直线”：

• 高中《圆与方程》：用方程组解的个数判断直线与圆的位置关系，与本章的 $d$、$r$ 比较完全一致
• 高中《立体几何》：内切圆思想推广为多面体的内切球
• 实际应用：齿轮传动中的公切线、光学反射中的切点、道路弯道的切线设计

把“先算 $d$—再比 $r$—证切线连半径—求半径用面积”做成顺序，直线与圆的综合题就有了固定突破口。