北师大版九年级上册第五章《投影与视图》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：光线 → 投影 → 三视图 → 还原几何体。

光线照射物体，在投影面上得到的图形叫投影；光线叫投影线，承接投影的平面叫投影面。按光线是否平行，投影分为平行投影和中心投影；光线垂直于投影面时叫正投影。三视图就是三个方向正投影的组合。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 投影	区分平行投影、中心投影、正投影	由光线判断影子形状与变化
2 视图	画三视图、由三视图还原	主视图、左视图、俯视图

1 投影

平行投影：光线互相平行，太阳光是最常见的例子。同一时刻，太阳高度角相同，物高与影长成比例： $\frac{h_1}{h_2}=\frac{l_1}{l_2}.$

中心投影：光线交于一点，点光源（如路灯、台灯）形成中心投影。物体离光源越近，影子越短；离光源越远，影子越长。

正投影：投影线垂直于投影面。三视图使用的就是正投影，它不会因为物体到投影面的距离改变而改变图形大小。

例：同一时刻，$1.5$ 米高的标杆影长 $2$ 米，树的影长 $8$ 米。设树高为 $h$ 米，则 $\frac{h}{1.5}=\frac{8}{2},$ 所以 $h=6$ 米。

中心投影中，影长会随物体到光源的距离变化，不能直接套用“物高与影长成比例”。判断投影类型，先看光线是平行还是交于一点。

2 视图

从正面看到的图形叫主视图，从左面看到的图形叫左视图，从上面看到的图形叫俯视图。三者合称三视图。

三视图的对应关系：

• 主视图与俯视图长对正；
• 主视图与左视图高平齐；
• 俯视图与左视图宽相等。

画图时先确定几何体的摆放位置，再分别沿三个方向作正投影。可见轮廓线画实线，被遮挡但存在的轮廓线画虚线。

常见几何体的三视图：

几何体	主视图	左视图	俯视图
圆柱	矩形	矩形	圆
圆锥	三角形	三角形	带圆心的圆
球	圆	圆	圆
正方体	正方形	正方形	正方形

由三视图还原几何体时，先根据三个视图确定基本形状，再由尺寸确定长、宽、高，最后由俯视图数清小立方块的层数与个数。只数正面一层，最容易漏掉被遮挡的方块。

本章的三条主线结论

1. 投影先看光线：光线平行是平行投影，光线交于一点是中心投影
2. 三视图守三条规则：长对正、高平齐、宽相等
3. 还原靠空间想象：先定形状，再定尺寸，最后数清遮挡关系

自测

先自己完成，再看答案：

1. 太阳光下 $1.5$ 米高的标杆影长 $2$ 米，树影长 $8$ 米，树高是多少？——$6$ 米
2. 圆柱的三视图分别是什么？——主视图和左视图是矩形，俯视图是圆
3. 球的三视图是什么？——三个圆
4. 三视图的标准位置怎样摆放？——主视图在左上，左视图在右上，俯视图在左下
5. 看不见但存在的轮廓线应画成什么线？——虚线
6. 由三视图还原几何体，第一步做什么？——先确定基本形状与层数

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $1$ 题出错，说明还没有分清平行投影与中心投影。

学完本章之后

本章是初中阶段最后一次集中训练空间想象：

• 九年级下册第二章《二次函数》：建立坐标系描述抛物线，需要把空间位置转化为平面图形
• 九年级下册《圆》：圆锥的侧面展开图与弧长、扇形面积直接相关
• 高中立体几何：三视图、直观图、空间直角坐标系都会再次出现

把“先判断投影类型，再按三条规则画图，最后检查遮挡关系”作为固定流程。