浙教版七年级上册第4章《代数式》教材同步学习指南

定义

用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

由数与字母的积组成的代数式叫单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；其中的数字因数叫系数，所有字母的指数和叫次数。几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫多项式的次数。单项式和多项式统称整式。

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。把同类项合并成一项，叫合并同类项。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
4.1 代数式	用字母表示数量关系	会按书写规范列代数式
4.2 代数式的值	代入数值计算	会求值，会整体代入
4.3 整式	辨认单项式与多项式	会找系数、次数、项与常数项
4.4 合并同类项	判断同类项并合并	系数相加，字母与指数不变
4.5 整式的加减	去括号、合并同类项	会化简并求值

4.1 代数式

列代数式要遵循书写规范：

• 数字与字母相乘，乘号省略，数字写在字母前面，如 $3a$ 不写成 $a3$；
• 系数是 1 或 $-1$ 时，1 省略，如 $1\cdot a$ 写成 $a$；
• 带分数与字母相乘，先把带分数化成假分数，如 $2\frac{1}{2}x$ 写成 $\frac{5}{2}x$；
• 除法写成分数，如 $s÷v$ 写成 $\frac{s}{v}$；
• 代数式后面带单位且是加减形式时，要加括号，如 $(a+b)$ 元。

例：苹果每千克 $a$ 元，买 $3$ 千克应付 $3a$ 元；正方形边长为 $a$，周长为 $4a$，面积为 $a^2$；路程为 $s$，速度为 $v$，所用时间为 $\frac{s}{v}$（$v\ne 0$）。

例：用代数式表示：$a$ 的 3 倍与 $b$ 的差是 $3a-b$；$a$ 与 $b$ 的和的平方是 $(a+b{)}^2$；$a$ 的平方与 $b$ 的平方的和是 $a^2+b^2$。

提醒：括号决定运算顺序，“和的平方”与“平方的和”不是同一个式子；数字与字母之间省略乘号，数字与数字之间仍要写乘号。

4.2 代数式的值

用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算算出的结果，叫代数式的值。代入负数或分数时，要加上括号。

例：当 $a=2$，$b=-1$ 时， $3a^2-2ab+b^2=3\times 4-2\times 2\times (-1)+1=12+4+1=17.$

例：已知 $x^2+x=3$，求 $2x^2+2x-5$ 的值。把 $x^2+x$ 看成一个整体： $2x^2+2x-5=2(x^2+x)-5=2\times 3-5=1.$

提醒：负数代入不加括号容易错符号；整体代入时先观察式子的结构，不要急着求出 $x$。

4.3 整式

单项式的例子：$3x^{2}y$ 的系数是 3，次数是 $2+1=3$；$-a$ 的系数是 $-1$，次数是 1；$5$ 的系数是 5，次数是 0。

多项式 $2x^2-3x+1$ 有三项：$2x^2$、$-3x$、$1$，最高次项的次数是 2，所以它是二次三项式，常数项是 1。

例：多项式 $3x^{2}y-2xy+5$ 的最高次项是 $3x^{2}y$，次数为 3，共三项，所以它是三次三项式，常数项是 5。

提醒：分母中含字母的式子不是整式，如 $\frac{1}{x}$；单项式的系数包括前面的符号；多项式的次数看最高次项，不是看项数。

4.4 合并同类项

判断同类项只看两点：所含字母相同，相同字母的指数也相同。它与系数无关，与字母的书写顺序也无关。因此 $2ab$ 与 $-3ba$ 是同类项，$3x^{2}y$ 与 $3x{y}^2$ 不是同类项；所有常数项都是同类项。

合并同类项时，把系数相加，字母和字母的指数保持不变： $3x^{2}y-5x^{2}y=(3-5)x^{2}y=-2x^{2}y.$

例：化简 $2a+3b-4a+b$。同类项分别合并： $2a-4a=-2a,3b+b=4b,$ 所以原式 $=-2a+4b$。

例：化简 $4x^2-3x+2-2x^2+5x-7=2x^2+2x-5$。

提醒：不是同类项不能合并；系数相加时要带着符号；合并后字母的指数不变，不能把指数也相加。

4.5 整式的加减

去括号法则：括号前是“$+$”，去括号后各项都不变号；括号前是“$-$”，去括号后各项都变号。括号前有系数时，系数要乘遍括号内的每一项。

例：计算 $(3a^2-2a+1)-(a^2-3a+2).$ 去括号得 $3a^2-2a+1-a^2+3a-2,$ 合并同类项得 $2a^2+a-1$。

例：先化简，再求值：$2(x^2-3x)-(2x^2-5x)$，其中 $x=-2$。 $2(x^2-3x)-(2x^2-5x)=2x^2-6x-2x^2+5x=-x.$ 当 $x=-2$ 时，原式 $=2$。

提醒：去括号时不要只变第一项；括号前的系数不要只乘第一项；化简求值要先化简再代入，直接代入容易算错。

本章的三条主线结论

1. 用字母表示数：代数式把数量关系压缩成运算式，括号决定运算顺序
2. 整式看结构：单项式看系数与次数，多项式看项与最高次项
3. 加减靠两步：去括号、合并同类项，先化简再求值

自测

先自己完成，再看答案：

1. 单项式 $-\frac{3x^{2}y}{5}$ 的系数和次数分别是多少？——系数是 $-\frac{3}{5}$，次数是 3
2. 多项式 $2x^2-3x+1$ 的次数、项数、常数项分别是多少？——二次，三项，常数项是 1
3. 合并同类项：$4a^{2}b-6a^{2}b$。——$-2a^{2}b$
4. 当 $x=-1$ 时，求 $x^2-3x+1$ 的值。——$1+3+1=5$
5. 化简 $(2a+b)-(a-b)$。——$a+2b$
6. 已知 $x^2+x=4$，求 $2x^2+2x-3$ 的值。——$2\times 4-3=5$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1 题漏掉负号，说明系数要带符号；第 5 题出错，说明去括号变号还需再练。

学完本章之后

本章让数从“具体的值”变成“可运算的符号”：

• 第5章《一元一次方程》：移项、合并同类项都以整式加减为基础；
• 八年级《整式的乘法与因式分解》：整式运算从加减走向乘除；
• 高中《函数》：解析式就是含字母的代数式，研究性质先要会化简。

把“先看结构、再定法则、最后化简”的顺序用熟，代数式一章就能从“会算”走到“会看”。