浙教版七年级上册第3章《实数》教材同步学习指南

定义

若 $x^2=a$（$a\ge 0$），则 $x$ 叫 $a$ 的平方根；正数 $a$ 的正平方根叫算术平方根，记作 $\sqrt{a}$。若 $x^3=a$，则 $x$ 叫 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。

无限不循环小数叫无理数。有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应。

开方与乘方互为逆运算。本章先用开方扩充数系，再用数轴把有理数与无理数统一起来。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 平方根	认识平方根与算术平方根	会求平方根，分清 $\pm \sqrt{a}$ 与 $\sqrt{a}$
3.2 实数	辨认无理数，把实数放到数轴上	理解实数与数轴一一对应
3.3 立方根	认识立方根	会求立方根，记住负数也有立方根
3.4 实数的运算	在实数范围内按顺序计算	会化简根号、去绝对值、取近似值

3.1 平方根

若 $x^2=a$（$a\ge 0$），则 $x$ 叫 $a$ 的平方根。平方根的性质：

• 正数有两个平方根，它们互为相反数；
• 0 的平方根是 0；
• 负数没有平方根。

正数 $a$ 的正平方根叫算术平方根，记作 $\sqrt{a}$。由此得到两个常用关系： ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a(a\ge 0),\sqrt{a^2}=|a|.$

例：因为 $(\pm 3{)}^2=9$，所以 9 的平方根是 $\pm 3$，算术平方根是 $3$；$\sqrt{9}=3$，$-\sqrt{9}=-3$。

例：$\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$，结果不是 $-5$。

提醒：正数的平方根有两个，答题时不要漏掉负根；$\sqrt{a}$ 本身是非负数，只有 $-\sqrt{a}$ 才为负；负数没有平方根。

3.2 实数

无限不循环小数叫无理数，例如 $\sqrt{2}$、$\pi$、$0.1010010001\cdots$（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。

判断无理数要先化简：$\sqrt{4}=2$、$\sqrt{9}=3$ 都是有理数；$\frac{22}{7}$ 是分数，也是有理数。无限循环小数同样是有理数。

实数可以按定义分为有理数和无理数，也可以按符号分为正实数、0 和负实数。在数轴上，每个实数都对应一个点，每个点也都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。相反数、绝对值和大小比较在实数范围内仍然适用。

例：估计 $\sqrt{7}$ 的大小。因为 $2^2=4<7<9=3^2$，所以 $2<\sqrt{7}<3$，且 $\sqrt{7}\approx 2.646$。

例：比较 $\sqrt{10}$ 与 $3.1$。因为 $3.1^2=9.61<10$，所以 $\sqrt{10}>3.1$。

提醒：无理数是无限不循环小数，不是所有无限小数；带根号的数不一定无理，不带根号的数也可能无理，例如 $\pi$。

3.3 立方根

若 $x^3=a$，则 $x$ 叫 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。每个数都有唯一的立方根：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0。

立方根与立方互为逆运算： $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a},{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=a,\sqrt[3]{a^3}=a.$

例：$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt[3]{0}=0$，$-\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$。

项目	平方根	立方根
记号	$\pm \sqrt{a}$（$a\ge 0$）	$\sqrt[3]{a}$
正数	两个，互为相反数	一个正数
0	0	0
负数	没有	一个负数

提醒：负数没有平方根，但有立方根；立方根只有一个，不要写成 $\pm 2$ 的形式。

3.4 实数的运算

有理数的运算法则、运算律和运算顺序在实数范围内仍然成立。开方与乘方互为逆运算，遇到无理数可按题目要求取近似值。

例：计算 $\sqrt{16}-\sqrt[3]{27}+|1-\sqrt{2}|.$ 先算开方：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{27}=3$。因为 $1-\sqrt{2}<0$，所以 $|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。原式变为 $4-3+(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}.$

例：计算 $\sqrt{2}+\pi$（精确到 $0.01$）。取 $\sqrt{2}\approx 1.414$，$\pi \approx 3.142$，得 $4.556\approx 4.56$。

提醒：去绝对值前先判断里面式子的正负；不同次根号不能直接合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 不等于 $\sqrt{5}$；近似计算时中间结果多保留一位，最后再按要求取舍。

本章的三条主线结论

1. 开方是乘方的逆运算：平方根看“个数与符号”，立方根看“唯一与同号”
2. 无理数把数轴填满：实数与数轴上的点一一对应，大小比较仍看左右位置
3. 实数运算沿用有理数法则：先开方、再按顺序计算，含无理数时按要求取近似值

自测

先自己完成，再看答案：

1. 16 的平方根和算术平方根分别是多少？——平方根是 $\pm 4$，算术平方根是 $4$
2. $\sqrt{(-5{)}^2}$ 等于多少？——$5$
3. $-27$ 的立方根是多少？——$-3$
4. 在 $\sqrt{2}$、$\frac{22}{7}$、$\pi$、$0$ 中，无理数有几个？——2 个，是 $\sqrt{2}$ 和 $\pi$
5. 估计 $\sqrt{10}$ 在哪两个整数之间？——$3$ 和 $4$
6. 计算 $\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}$。——$1$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1 题漏掉负根，说明平方根与算术平方根还没分清；第 4 题出错，说明无理数的辨认还需再练。

学完本章之后

本章把数系从有理数扩充到实数，数轴从此被填满：

• 第4章《代数式》：用字母表示数，根号与绝对值也会进入代数式；
• 八年级《二次根式》：继续研究 $\sqrt{a}$ 的化简与运算；
• 高中《指数函数与对数函数》：开方运算进一步发展为分数指数幂。

把“先化简、再判断、后计算”的顺序固定下来，实数题就不会在符号和近似值上丢分。