勾股定理的逆定理

推导

已知：$△ABC$ 的三边 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，满足 $a^2+b^2=c^2$，其中 $c$ 为最长边。求证：$\angle C=90^{\circ }$。

证明（构造法）：

1. 另作一个直角三角形 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$，使 $\angle C^{\prime }=90^{\circ }$，$B^{\prime }{C}^{\prime }=a$，$A^{\prime }{C}^{\prime }=b$。
2. 对这个新构造的直角三角形使用勾股定理（前提满足，不构成循环），得斜边

$A^{\prime }{B}^{\prime 2}=a^2+b^2=c^2⟹A^{\prime }{B}^{\prime }=c$

3. 三边对应相等：$B^{\prime }{C}^{\prime }=BC=a$，$A^{\prime }{C}^{\prime }=CA=b$，$A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=c$，由 SSS 得

$△ABC\cong △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

4. 全等三角形对应角相等，故 $\angle C=\angle C^{\prime }=90^{\circ }$。

所以 $△ABC$ 是直角三角形，且 $\angle C$ 是直角。$■$

注意：不能直接对 $△ABC$ 用勾股定理来证它自身是直角三角形——勾股定理的前提就是「直角三角形」，那样是循环论证。构造一个已知的直角三角形作「桥梁」，是这类判定性命题证明的通用思路。

典例精析

例 1：已知三边 $7,24,25$，判断这个三角形的形状。

最长边为 $25$。计算：

$7^2+24^2=49+576=625=25^2$

等式成立，所以它是直角三角形，$25$ 所对的角是直角。

例 2：三边 $13,14,15$ 能构成直角三角形吗？

最长边为 $15$：

$13^2+14^2=169+196=365,15^2=225$

$365\ne 225$，所以不能构成直角三角形。

对比