浙教版八年级上册第2章《特殊三角形》教材同步学习指南

定义

有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。三边都相等的三角形叫等边三角形。

有一个角是直角的三角形叫直角三角形，直角所对的边叫斜边，另外两边叫直角边。

本章主线：轴对称 → 等腰三角形 → 逆命题与逆定理 → 直角三角形与勾股定理。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1 图形的轴对称	认识对称轴与对称点	掌握轴对称的性质
2.2 等腰三角形	认识腰、底边、顶角、底角	会用轴对称描述等腰三角形
2.3 等腰三角形的性质定理	证明等边对等角与三线合一	会用性质求角、求线段
2.4 等腰三角形的判定定理	由角相等判定边相等	掌握等边三角形的判定
2.5 逆命题和逆定理	交换条件与结论	会判断逆命题真假
2.6 直角三角形	研究两锐角与斜边中线	掌握 $30^{\circ }$ 角所对直角边的性质
2.7 探索勾股定理	用面积法发现并证明勾股定理	会用勾股定理及其逆定理
2.8 直角三角形全等的判定	掌握斜边、直角边判定	会用 HL 证明全等

2.1 图形的轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点叫对称点。

轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；对应线段相等，对应角相等。

概念	对象	关键点
轴对称图形	一个图形	沿对称轴折叠后两部分重合
两个图形成轴对称	两个图形	沿对称轴折叠后两个图形重合

例：点 $A$、$B$ 关于直线 $l$ 对称，$AB=6$，则 $l$ 垂直平分 $AB$，点 $A$ 到 $l$ 的距离为 3。

易错：对称轴是直线，不是线段；对称轴垂直平分的是连接对称点的线段，不是任意一条对应线段。

2.2 等腰三角形

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线，这条直线也是底边的垂直平分线。

等腰三角形的两腰相等，这是定义直接给出的；两底角相等、三线合一等性质定理在 2.3 证明。

例：等腰三角形 $AB=AC$，$BC=6$，腰长为 5，则周长为 $5+5+6=16$；若 $\angle B=70^{\circ }$，则 $\angle C=70^{\circ }$，$\angle A=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$。

易错：腰与底边要分清；等腰三角形的底角一定是锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角。

2.3 等腰三角形的性质定理

性质定理 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 性质定理 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）。

等边三角形的三个内角都相等，且都等于 $60^{\circ }$。

例：在 $△ABC$ 中，$AB=AC$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$BC=8$。由“三线合一”，$AD$ 也是 $BC$ 上的中线和高，所以 $BD=4$，$AD\perp BC$。

易错：“三线合一”中的三条线都对应顶角与底边；腰上的高、腰上的中线不满足这一关系。已知顶角 $120^{\circ }$ 时，底角为 $30^{\circ }$，不是 $60^{\circ }$。

2.4 等腰三角形的判定定理

判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。

等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等（都是 $60^{\circ }$）的三角形是等边三角形；有一个角是 $60^{\circ }$ 的等腰三角形是等边三角形。

例：在 $△ABC$ 中，$\angle B=\angle C=50^{\circ }$，则 $AB=AC$，又 $\angle A=80^{\circ }$。另取一个三角形，若 $AB=AC$ 且 $\angle A=60^{\circ }$，则它是等边三角形。

易错：“等角对等边”必须在同一个三角形内使用，不能由两个三角形中各有一个角相等就推出边相等。

2.5 逆命题和逆定理

交换一个命题的条件与结论，所得的命题叫原命题的逆命题。原命题与逆命题互为逆命题。

原命题为真，逆命题不一定为真。如果一个定理的逆命题经过证明也是真命题，那么这个逆命题叫原定理的逆定理。

原命题	逆命题	真假
两直线平行，同位角相等	同位角相等，两直线平行	都真
对顶角相等	相等的角是对顶角	原真、逆假
等腰三角形的两底角相等	有两个角相等的三角形是等腰三角形	都真
线段垂直平分线的性质定理	线段垂直平分线的判定定理	都真

例：“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，反例：角平分线分出的两个角相等，但它们不是对顶角。

易错：逆命题的真假要单独判断，不能由原命题为真直接推出；一个定理不一定有逆定理。

2.6 直角三角形

直角三角形的两个锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30^{\circ }$，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反过来，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 $30^{\circ }$。

例：在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$\angle A=30^{\circ }$，$AB=8$。则 $\angle B=60^{\circ }$，$BC=\frac{1}{2}AB=4$，$AC=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。斜边上的中线长为 $\frac{1}{2}AB=4$。

易错：$30^{\circ }$ 角所对的直角边等于斜边的一半，不是“等于另一条直角边的一半”；斜边上的中线性质只适用于斜边。

2.7 探索勾股定理

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若两直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$，则 $a^2+b^2=c^2.$

用四个全等的直角三角形拼成边长为 $a+b$ 的正方形，中间留下边长为 $c$ 的正方形，由面积关系 $(a+b{)}^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+c^2$ 化简即得 $a^2+b^2=c^2$。

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 $a$、$b$、$c$ 满足 $a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，边 $c$ 所对的角是直角。

例：三边为 9、12、15 时，$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，所以是直角三角形；三边为 5、6、8 时，$5^2+6^2=61\ne 64=8^2$，所以不是直角三角形。

易错：已知直角三角形的两边求第三边时要分类：6、8 都是直角边时第三边为 10；8 是斜边时第三边为 $\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。勾股定理只适用于直角三角形。

2.8 直角三角形全等的判定

判定两个直角三角形全等，除了 SSS、SAS、ASA、AAS，还有：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或 HL）。

HL 的前提是两个三角形都是直角三角形，且相等的两边中一条是斜边、一条是直角边。

例：已知 $\angle C=\angle D=90^{\circ }$，$AC=BD$，$AB=BA$。在 $△ABC$ 与 $△BAD$ 中，$AB=BA$ 是斜边，$AC=BD$ 是直角边，所以 $△ABC\cong △BAD$（HL），从而 $BC=AD$，$\angle ABC=\angle BAD$。

易错：HL 不能写成“SSA”；使用前必须说明两个三角形都是直角三角形，且对应关系要写清斜边与直角边。

本章的三条主线结论

1. 轴对称是等腰三角形性质的来源：折叠重合带来两底角相等与三线合一。
2. 性质与判定互逆：等边对等角，等角对等边；原命题与逆命题的真假要分别判断。
3. 直角三角形靠边角关系刻画：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、勾股定理及其逆定理。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 等腰三角形一个角为 $100^{\circ }$，另外两个角是多少？——$40^{\circ }$、$40^{\circ }$。
2. 等腰三角形两边长为 4 和 9，周长是多少？——22。
3. “对顶角相等”的逆命题是什么？真假如何？——相等的角是对顶角，假命题。
4. 直角三角形两直角边为 5、12，斜边是多少？——13。
5. 三边为 6、8、10 的三角形是直角三角形吗？——是，$6^2+8^2=10^2$。
6. 直角三角形斜边长为 10，斜边上的中线长是多少？——5。

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、3 题出错，说明分类讨论与逆命题还需再练。

学完本章之后

• 第3章《一元一次不等式》：不等关系与不等式的解法，为后续研究函数取值范围做准备。
• 八年级下册《二次根式》：勾股定理计算常出现 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 等无理数，需要二次根式运算。
• 高中《解三角形》：勾股定理推广为余弦定理，直角三角形中的边角关系推广到任意三角形。