切线长定理

定义

切线长：经过圆外一点的圆的切线上，该点与切点之间的线段长度。

「切线」是一条直线，本身没有长度；「切线长」是那条线段（从圆外点到切点）的长。所以只能说「切线 $PA$ 的长」或「切线长 $PA$」，不能说「切线的长」——这是本节第一个要分清的词。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

$P$ 引 $\odot O$ 的切线 $PA$、$PB$，切点为 $A$、$B$，则

$PA=PB,\angle APO=\angle BPO$

补充一点：连心线 $OP$ 不仅平分两条切线的夹角 $\angle APB$，还平分两条半径的夹角 $\angle AOB$——这两个角都被 $OP$ 平分，别只记住一半。

前提是「圆外一点」：圆上的点只能引一条切线，圆内的点一条切线也引不出。用到这一定理时，先确认 $P$ 在圆外。

推导

连 $OA$、$OB$、$OP$。

由切线性质定理：

$OA\perp PA,OB\perp PB$

即 $\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$。在 Rt$△OAP$ 与 Rt$△OBP$ 中：

$\{\begin{array}{l}OA=OB\\ OP=OP\end{array}$

（$OA$、$OB$ 同为半径，$OP$ 是公共边。）

$\therefore$ Rt$△OAP\cong$ Rt$△OBP$（HL）。

故 $PA=PB$，$\angle APO=\angle BPO$，$\angle AOP=\angle BOP$。$■$

对称性：上述全等也说明 $A$ 与 $B$ 关于直线 $OP$ 对称——$OP$ 是整个图形的对称轴。于是四边形 $PAOB$ 是一个轴对称四边形，且 $\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$，故它的对角互补（这使它内接于一个以 $OP$ 为直径的圆）。

典例精析

$\odot O$ 半径 $r=3$，圆外一点 $P$ 满足 $OP=6$，求切线长 $PA$ 及两切线夹角 $\angle APB$。

在 Rt$△OAP$ 中：

$PA=\sqrt{O{P}^2-O{A}^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$

$\sin \angle APO=\frac{OA}{OP}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}⟹\angle APO=30^{\circ }$

由定理 $\angle APB=2\angle APO=60^{\circ }$。

例 2：$PA$、$PB$ 分别切 $\odot O$ 于 $A$、$B$，$\angle APB=60^{\circ }$，$OP=8$，求 $\odot O$ 的半径。

由定理 $OP$ 平分 $\angle APB$，故 $\angle APO=30^{\circ }$。在 Rt$△OAP$ 中，$OA$ 对着 $30^{\circ }$ 角，是斜边 $OP$ 的一半：

$OA=\frac{1}{2}OP=4$

这是切线长定理与「$30^{\circ }$ 角所对直角边等于斜边一半」的联合使用。

对比

量	关系	来源
切线长	$PA=PB$	HL 全等
夹角	$PO$ 平分 $\angle APB$	全等对应角
半径向	$PO$ 平分 $\angle AOB$	全等对应角
计算	$AP=\sqrt{O{P}^2-r^2}$	勾股定理

与其他知识的联系

切线长定理是「切线性质 + 直角三角形全等（HL）」的直接推论：先由切线性质得到两个直角，再用 HL 证明两个直角三角形全等，定理随即得出。所以它站在切线的肩膀上，又为切线添了一条可用的结论。

它的下游很丰富：四边形 $PAOB$ 内接于以 $OP$ 为直径的圆，把切线问题接上「直径所对圆周角是直角」；而两条切线相等的结论，也为课外拓展中的弦切角定理、圆幂定理打下基础。往后在高中，切线还会以「圆的切线方程」的形式再次出现。