余角和补角

定义

互为余角（互余）：如果两个角的和等于 $90°$（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角。

互为补角（互补）：如果两个角的和等于 $180°$（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。

互余、互补都只是数量关系，与两个角的位置无关——它们不必相邻，也不必有公共顶点。例如分别画在两张纸上的 $30°$ 角与 $60°$ 角仍然互余。由于钝角大于 $90°$，钝角没有余角。

余角、补角的性质

• 同角（等角）的余角相等；
• 同角（等角）的补角相等。

以「同角的补角相等」为例说道理：若 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 都是 $\angle 3$ 的补角，则 $\angle 1=180°-\angle 3$，$\angle 2=180°-\angle 3$，所以 $\angle 1=\angle 2$。「等角的余角相等」同理：当 $\angle \alpha =\angle \beta$ 时，$90°-\angle \alpha =90°-\angle \beta$。

要注意这两条是由定义推导出来的性质，不是定义本身。它们是初学者进行几何推理时可以直接写进「因为、所以」的第一批理由，书写格式如「同角的补角相等」。

邻补角

如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角。邻补角既有数量关系（和为 $180°$），又有位置关系（相邻），是「互补」的加强版：邻补角一定互补，互补的两个角不一定是邻补角。

一条直线与一条射线相交所成的角中，有公共边的相邻两角都互为邻补角，这为七年级下册「相交线与平行线」中研究对顶角做准备。

顺带一提方位角：表示方向时以正北或正南方向为基准，如「北偏东 $30°$」。计算两个方向之间的夹角时，常要借助余角与补角来换算。

典例精析

已知 $\angle \alpha =35°$，则它的余角为 $90°-35°=55°$，补角为 $180°-35°=145°$。

一个角的补角比它的余角的 $3$ 倍大 $10°$，求这个角：设这个角为 $x$ 度，则

$180-x=3(90-x)+10$

解得 $x=50$，这个角是 $50°$。

若 $\angle AOB$ 与 $\angle BOC$ 互为邻补角，$\angle AOB=120°$，则 $\angle BOC=180°-120°=60°$；若在 $\angle AOB$ 的另一侧再作它的邻补角，这个角也是 $60°$——这正是「同角的补角相等」的体现，也是对顶角相等的前奏。

与其他知识的联系

余角、补角是对「角」进行数量化研究的开端，与角的度量、角的比较与运算直接衔接。它们的性质是初中几何第一批推理理由，此后平行线的判定与性质、三角形内角和等证明中都会反复用到「同（等）角的余角（补角）相等」；邻补角则是七年级下册对顶角概念的直接前奏。

对比

关系	两角之和	简称
互余	等于 $90^{\circ }$	互为余角
互补	等于 $180^{\circ }$	互为补角

性质	内容
余角性质	同角（等角）的余角相等
补角性质	同角（等角）的补角相等
邻补角	既相邻又互补，两角有一条公共边

互余、互补只看度数之和，与两个角的位置无关。